Câu hỏi:

17/06/2025 21

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho các điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {0;b;0} \right)\], \[C\left( {0;0;c} \right)\] trong đó \[b,c\] là các số hữu tỷ dương và mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình \[y - z + 1 = 0\]. Biết rằng mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\frac{1}{3}\]. Tính \[b + c\].

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]: \[\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0\].

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \left( {1;\frac{1}{b};\frac{1}{c}} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\] là \[{\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {0;1; - 1} \right)\].

Theo giả thiết: \[\left( {ABC} \right) \bot \left( P \right)\] nên \[{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} \cdot {\vec n_{\left( P \right)}} = 0\] hay \[\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,b = c\,\,\left( 1 \right)\].

Mà \[d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }} = \frac{1}{3}\] hay \[\sqrt {1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}}  = 3\,\, \Leftrightarrow \,\,1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 9\,\,\left( 2 \right)\].

Thay \[\left( 1 \right)\] vào \[\left( 2 \right)\] ta được: \[1 + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 9\, \Leftrightarrow \frac{2}{{{b^2}}} = 8 \Leftrightarrow {b^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow b = \frac{1}{2}\] (vì \[b\]là số hữu tỷ dương).

Suy ra \[c = \frac{1}{2}\]. Vậy \[b + c = 1\].

Đáp án: \(1\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Ta có \[\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {5\,;\,3\,;\, - 9} \right)\]. Chọn C.

Lời giải

c (ảnh 2)

Từ \(6{\rm{h}}00\) đến \(6{\rm{h}}30\) máy bay \(A\) đi được quãng đường là: \(OA = 800 \cdot 0,5 = 400\) (km).

Vì \(OA\) tạo với ba trục tọa độ các góc bằng nhau nên suy ra \(OM = ON = OP\).

Đặt \(OM = ON = OP = x\)\( \Rightarrow OA = x\sqrt 3  = 400\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{400\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow A\left( {\frac{{400\sqrt 3 }}{3};\frac{{400\sqrt 3 }}{3};\frac{{400\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Tương tự, từ \(6{\rm{h}}10\) đến \(6{\rm{h}}30\) máy bay \(B\) đi được quãng đường là: \(OB = 900 \cdot \frac{1}{3} = 300\) (km).

Vì \(OB\) tạo với ba trục các góc bằng nhau nên suy ra \(B\left( { - 100\sqrt 3 ; - 100\sqrt 3 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {33 \cdot {{10}^4}}  \approx 574\) (km).

Đáp án: 574.