Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 6. Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Đề số 2) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1\,;\,\,b - 2\,;\,\, - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {BM} = \left( {a + 1\,;\,\,b + 2\,;\,\, - 1} \right)\).

Tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) nên \(\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow {b^2} \le 1 \Rightarrow - 1 \le b \le 1\).

Ta có \[\left[ {\overrightarrow {AM} ,\,\overrightarrow {BM} } \right] = \left( {2b + 8\,;\,\, - 2\left( {a + 1} \right)\,;\,\,4\left( {a + 1} \right)} \right)\].

\[ \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{{\left( {b + 4} \right)}^2} + 20{{\left( {a + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} + 8b + 16 + 5\left( {1 - {b^2}} \right)} = \sqrt { - 4{b^2} + 8b + 21} \].

Đặt \(f\left( b \right) = - 4{b^2} + 8b + 21 \Rightarrow f'\left( b \right) = - 8b + 8 \ge 0,\,\,\forall b \in \left[ { - 1;\,1} \right]\) \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;\,1} \right]} f\left( b \right) = f\left( { - 1} \right) = 9\).

\( \Rightarrow \)\[{S_{\Delta MAB}}\] có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi \(b = - 1\)\( \Rightarrow \,a = - 1 \Rightarrow \)\({a^3} + {b^3} = - 2\).

Đáp án: \( - 2\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba vectơ \(\vec a = \left( {2; - 1;0} \right)\), \[\vec b = \left( { - 1; - 3;2} \right)\] và \(\vec c = \left( { - 2; - 4; - 3} \right)\), tọa độ của \[\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c\] là

A. \(\left( {3;\,\,7;\,\,9} \right)\).

B. \(\left( { - 3;\,\, - 7;\,\, - 9} \right)\).

C. \(\left( {5;\,\,3;\,\, - 9} \right)\).

D. \(\left( { - 5;\,\, - 3;\,\,9} \right)\).

Lời giải

Ta có \[\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {5\,;\,3\,;\, - 9} \right)\]. Chọn C.

Câu 2

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ \(Oxyz\) (gốc \(O\) đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc \(6\) giờ máy bay \(A\) xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia \(OA\) lần lượt hợp với ba tia \[Ox\], \(Oy\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(800\) km/h. Mười phút sau máy bay \(B\) đi Hà Nội theo tia \(OB\) hợp với ba tia \(Ox'\), \(Oy'\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(900\) km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay \(A\) và \(B\) lúc \(6\) giờ \(30\) phút.

Xem đáp án

Lời giải

c (ảnh 2)

Từ \(6{\rm{h}}00\) đến \(6{\rm{h}}30\) máy bay \(A\) đi được quãng đường là: \(OA = 800 \cdot 0,5 = 400\) (km).

Vì \(OA\) tạo với ba trục tọa độ các góc bằng nhau nên suy ra \(OM = ON = OP\).

Đặt \(OM = ON = OP = x\)\( \Rightarrow OA = x\sqrt 3 = 400\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{400\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow A\left( {\frac{{400\sqrt 3 }}{3};\frac{{400\sqrt 3 }}{3};\frac{{400\sqrt 3 }}{3}} \right)\).

Tương tự, từ \(6{\rm{h}}10\) đến \(6{\rm{h}}30\) máy bay \(B\) đi được quãng đường là: \(OB = 900 \cdot \frac{1}{3} = 300\) (km).

Vì \(OB\) tạo với ba trục các góc bằng nhau nên suy ra \(B\left( { - 100\sqrt 3 ; - 100\sqrt 3 ;100\sqrt 3 } \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {33 \cdot {{10}^4}} \approx 574\) (km).

Đáp án: 574.

Câu 3