Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,4} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\) và điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,1} \right)\) sao cho tam giác \(MAB\) vuông tại \(M\) và diện tích tam giác \(MAB\) nhỏ nhất. Khi đó \({a^3} + {b^3}\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có điểm \[A\] trùng với gốc tọa độ \[O\], các điểm \[B\left( {2;0;0} \right)\], \[C\left( {0;3;0} \right)\] và \[B'\left( {0;0;4} \right)\].

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ \(Oxyz\) (gốc \(O\) đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc \(6\) giờ máy bay \(A\) xuất phát từ Đà Nẵng đến TP. Hồ Chí Minh theo tia \(OA\) lần lượt hợp với ba tia \[Ox\], \(Oy\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(800\) km/h. Mười phút sau máy bay \(B\) đi Hà Nội theo tia \(OB\) hợp với ba tia \(Ox'\), \(Oy'\), \(Oz\) các góc bằng nhau với vận tốc \(900\) km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị kilômét và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay \(A\) và \(B\) lúc \(6\) giờ \(30\) phút.

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz,\] mắt một người quan sát đặt tại điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\] và vật cần quan sát đặt tại điểm \[N\left( {2;3; - 12} \right)\]. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính \[R\] che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), có 3 diễn viên xiếc nhào lộn đang ở 3 vị trí \(A\left( {1\,; - 2\,;\,3} \right)\), \(B\left( {3\,;\,4\,;\,1} \right)\), \(C\left( { - 5\,;\,2\,;\,1} \right)\). Gọi \(\left( \alpha \right)\) là một mặt phẳng lưới bảo hộ di động luôn  chứa trục hoành sao cho \(A\), \(B\), \(C\) nằm cùng phía với \(\left( \alpha \right)\) và \({d_1},\,{d_2},\,{d_3}\) lần lượt là khoảng cách từ \(A,\) \(B\), \(C\) đến \(\left( \alpha \right)\). Tiết mục xiếc sẽ được bắt đầu khi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) được điều chỉnh để biểu thức \(T = {d_1} + 2{d_2} + 3{d_3}\) đạt giá trị lớn nhất. Biết \(T\) lớn nhất bằng \(a\sqrt b \) (với \(a \in \mathbb{N}\), \(b\) là số nguyên tố). Hãy tính giá trị của biểu thức \(S = 2{\rm{a}} + 3b\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 2025 = 0\).

a) Số đo góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng \(90^\circ \).

b) Biết hình chiếu của \(O\) lên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(H\left( {3; - 1;2} \right)\), \(\alpha \)là số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \), khi đó \({\rm{cos}}\alpha = \frac{1}{{14}}\).

c) Đường thẳng \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Oxy} \right)\). Gọi \(\beta \) là góc giữa \({d_1}\) và mặt phẳng \[\left( {Oxz} \right)\]. Khi đó \(\beta > 30^\circ \).

d) Đường thẳng \({d_2}\) vuông góc với \(\left( P \right)\) tạo với \[\left( Q \right):x + my - 3 = 0\] một góc \(30^\circ \). Khi đó tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) bằng \(\frac{{ - 8}}{5}\).