PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

 Một em học sinh dùng các que diêm để xếp thành hình tháp có quy luật được thể hiện như trong hình sau:

 

Hỏi cần bao nhiêu que diêm để xếp thành hình tháp có \(10\) tầng?

 \(\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - {u_3} + {u_5} = 7\\{u_1} + {u_6} = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 7\\{u_1} + {u_1} + 5d = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 7\\2{u_1} + 5d = 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.\).

Ta có un = u1 + (n – 1).2 = 1 + 2n – 2 = 2n – 1.

Xét dãy \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\).

Ta có \({u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{2\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{2n + 3}}\).

Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{2n + 3}} - \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\)\( = \frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2} - \left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}}\)\( = \frac{4}{{\left( {2n + 3} \right)\left( {2n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in \mathbb{N}*\).

Do đó dãy \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{2n + 1}}\) là dãy tăng.