Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {5x + 1} - 4}}{{27 - {x^3}}}\), \(g\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{ - x + m}}\). Khi đó:

a) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right) = - 1\).

b) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = + \infty \).

c) Với m = 1 thì giới hạn bên phải của hàm số g(x) khi x dần đến 1 là một số hữu hạn.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \frac{a}{{216}}\) với a = 6.

a) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}} =  - 1\).

b) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}} =  + \infty \)

vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x + 1} \right) = 0\) và \( - x + 1 > 0\)khi x → 1−.

c) Với m = 1 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{3x + 1}}{{ - x + 1}} =  - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - x + 1} \right) = 0\) và \( - x + 1 < 0\)khi x → 1+.

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {5x + 1}  - 4}}{{27 - {x^3}}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {5x + 1 - 16} \right)}}{{\left( {27 - {x^3}} \right)\left( {\sqrt {5x + 1}  + 4} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {9 + 3x + {x^2}} \right)\left( {\sqrt {5x + 1}  + 4} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 5}}{{\left( {9 + 3x + {x^2}} \right)\left( {\sqrt {5x + 1}  + 4} \right)}}\)\( = \frac{{ - 5}}{{\left( {9 + 3.3 + {3^2}} \right)\left( {\sqrt {5.3 + 1}  + 4} \right)}} =  - \frac{5}{{216}}\) Þ \(a =  - 5\).

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;   c) Sai;   d) Sai.