Cho biểu thức \(M = {\left( {x + 3} \right)^3} - \left( {x + 9} \right)\left( {{x^2} + 27} \right)\). Giá trị của biểu thức \(M\) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp số: 2.

Vì \(AD\) là tia phân giác \(\Delta ABC\) nên ta có \[\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CD}}\].

Suy ra \[\frac{4}{8} = \frac{{BD}}{{CD}}\] hay \[\frac{{BD}}{4} = \frac{{CD}}{8}\].

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\[\frac{{BD}}{4} = \frac{{CD}}{8} = \frac{{BD + CD}}{{4 + 8}} = \frac{{BC}}{{12}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\].

Do đó \[BD = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2\,\,{\rm{(cm)}}\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \[BD\] bằng 2 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án:

a) Sai.

b) Đúng.

c) Đúng.

d) Sai.

⦁ Xét \[\Delta DCB\] có \[ME\parallel DB\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[ME\] là đường trung bình của tam giác \[BDC\].

Suy ra \[E\] là trung điểm của \[DE\] nên \[DE = EC = \frac{1}{2}DC\].

Như vậy \[AD = DE.\] Do đó ý a) sai.

⦁ Xét tam giác \[AME\] có \[ID\parallel ME\] và \[AD = DE\] nên \[DI\] là đường trung bình của tam giác \[AME.\]

Suy ra \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM.\] Do đó ý b) đúng.

⦁ Hai tam giác \[ABI\] và \[IBM\] có cùng chiều cao hạ từ đỉnh \[B\] xuống đáy \[AM\], gọi là \[{h_B}.\]

Khi đó, diện tích của hai tam giác \[ABI\] và \[IBM\] là: \[{S_{ABI}} = \frac{1}{2}{h_B} \cdot AI;{\rm{ }}{S_{BMI}} = \frac{1}{2}{h_B} \cdot IM\].

Mà \[AI = AM\] nên \[{S_{AIB}} = {S_{IMB}}.\] Do đó ý c) đúng.

⦁ Gọi \[{h_A},\,\,{h_I}\] lần lượt chiều cao hạ từ \[A\] và \[I\] xuống đáy \[BC\].

Vì \[I\] là trung điểm của cạnh \[AM\] nên \[{h_A} = 2{h_I}\].

Diện tích của hai tam giác \[ABI\] và \[IBM\] là:

\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{h_A} \cdot BC\,;{\rm{ }}{S_{IBC}} = \frac{1}{2}{h_I} \cdot BC\].

Khi đó, \[\frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{IBC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_A} \cdot BC}}{{\frac{1}{2}{h_I} \cdot BC}} = \frac{{{h_A}}}{{{h_I}}} = 2\] nên \[{S_{ABC}} = 2{S_{IBC}}.\] Do đó ý d) sai.