Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH\). Kẻ \(HE \bot AB\) tại \(E\) kéo dài lấy \(ME = HE\). Kẻ \(HF \bot AC\) tại \(F\), kéo dài \(HF\) lấy \(FN = FH\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\).

a) \(AB\) là trung trực của \(NH.\)

b) \(EF\parallel MN.\)

c) \(\Delta AMN\) cân tại \(M.\)

d) \(AI \bot EF.\)

Hướng dẫn giải

Gọi các điểm như hình vẽ bên.

Trong đó \[AB\] là độ cao cột cờ ban đầu, \[BC = 1\,\,{\rm{m}}\] độ dài cột cờ nâng lên.

Gọi \[AD,{\rm{ }}AK\] lần lượt là bóng cột cờ lúc ban đầu và sau khi nâng.

Theo đề bài, ta có \(\frac{{AK}}{{AD}} = \frac{9}{8}.\)

Tại cùng một thời điểm các tia sáng mặt trời song song nhau nên \[BD\,{\rm{//}}\,CK.\]

Áp dụng định lý Thalès, ta có: \(\frac{{AK}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{9}{8}\) hay \(\frac{{AC}}{9} = \frac{{AB}}{8}.\)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\frac{{AC}}{9} = \frac{{AB}}{8} = \frac{{AC - AB}}{{9 - 8}} = \frac{{BC}}{1} = 1.\)

Do đó \[AB = 8 \cdot 1 = 8\,\,\left( {\rm{m}} \right).\]

Vậy độ cao cột cờ ban đầu là 8 mét.

Hướng dẫn giải

a) Xét

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó \(AH \bot BC\) nên \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) đều vuông tại \(H.\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\) nên \(KH = \frac{1}{2}AB\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Tương tự, xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) ta có \(IH = \frac{1}{2}AC.\)

Mà \(I,\) \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \[KA = KB = \frac{1}{2}AB;\,\,IA = IC = \frac{1}{2}AC.\]

Lại có \(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A)\) nên \(KA = KH = IA = IH.\)

Xét tứ giác \(AKHI\) có \(KA = KH = IA = IH\) nên là hình thoi.

b) Xét tứ giác \(AHCE\) có \(I\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC,\,\,HE\) nên \(AHCE\) là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên hình bình hành \(AHCE\) là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật \(AHCE\) là hình vuông thì hai cạnh kề bằng nhau, tức \(HA = HC.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(HB = HC = \frac{1}{2}BC.\)

Khi đó \[HA = HB = HC = \frac{1}{2}BC.\]

Xét \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AH\) thỏa mãn \[HA = \frac{1}{2}BC\] nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AHCE\) là hình vuông.