khoahoc.vietjack.com
Kích hoạt VIP
khoahoc.vietjack.com
Kích hoạt VIP Đăng nhập
Tạo VIP
  2. Lớp 12
  3. Toán

Câu hỏi:

19/08/2025 9,824 Lưu

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC; G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng:
Media VietJack

a) \[\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} } \right)\]

b) \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \]

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) !!

Flashcard Bắt Đầu Thi Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \).

Do đó \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN} \).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng AD nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\).

Vì \(N\) là trung diểm của đoạn thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} )\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \).

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:
  1. Combo 3 khóa học Toán - Văn - Anh lớp 1-12 chỉ với 250k
  2. Phòng luyện 1000 đề VIP Đgnl các trường ĐHQGHN, Tp.HCM, Bách Khoa, tốt nghiệp THPT chỉ với 399k
  3. Mã giảm giá 20% sản phẩm sách VietJack trên Shopee mall
Avatar

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Điểm M  là trọng tâm của tam giác AFH (Hình 2.16).

a) Tìm \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {EH} \]                              

b) Tìm \[\overrightarrow v  = \overrightarrow {FA}  - \overrightarrow {BD} \]

c) Chứng minh rằng ba điểm E, M, C thẳng hàng.

d) Tính độ dài của \[\overrightarrow {EM} \] trong trường hợp ABCD.EFGH là hình hộp đứng có các cạnh AB = 5, AD = 6,  AE = 10 và \[\widehat {ABC}\] = 120°.

Cho hình hộp ABCD.EFGH. Điểm M là trọng tâm của tam giác AFH (Hình 2.16). (ảnh 1)

Lời giải

c) Để chứng minh E, M, C thẳng hàng, ta sẽ chứng minh \[\overrightarrow {EC}  = k\overrightarrow {EM} \] với k là một số thực nào đó. 
Do M là trọng tâm của tam giác AFH nên ta có: \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {EH}  = 3\overrightarrow {EM} \]
Mặt khác, theo quy tắc hình hộp thì: \[\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {EH}  = \overrightarrow {EC} \] 
Suy ra \[\overrightarrow {EC}  = 3\overrightarrow {EM} \]. Vậy ba điểm E, M, C thẳng hàng. 
d) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có: AC2 = 52 + 62 − 2.5.6.cos 120° = 91.

Khi ABCD.EFGH là hình hộp đứng thì EAC là tam giác vuông tại A, do đó:

EC2 = EA2 + AC2 = 100 + 91 = 191. Suy ra EM = \[EM = \frac{1}{3}\sqrt {191} \].

Câu 2

Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của tam giác BCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng:

a) \[\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {HK} \];

b) \[\overrightarrow {AB}  + {\rm{ }}\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \].

Lời giải

a) Do HK là đường trung bình của tam giác ABC nên
BC || HK và BC = 2HK. Suy ra \[\overrightarrow {BC} \] cùng hướng với
\[\overrightarrow {HK} \] và \[\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {HK} } \right|\]. Vậy \[\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {HK} \].
b) Ta có:
\[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} ,{\rm{ }}\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \].
Suy ra \[\overrightarrow {AB}  + {\rm{ }}\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} \].
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD nên \[\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \].
Do đó, ta có: \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \].
 

Câu 3

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có M là trung điểm của BB′ . Đặt \[\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {CB}  = {\overrightarrow b _,}\overrightarrow {CC'} \; = {\overrightarrow c _.}\]. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a  + \frac{1}{2}{\overrightarrow c _.}\]
 

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng: \[2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD} \; = 3(\overrightarrow {SI} \; + \overrightarrow {SJ} )\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ có AC′ và A′C cắt nhau tại O (Hình vẽ)

Cho hình hộp ABCD. A′B′C′D′ có AC′ và A′C cắt nhau tại O (Hình vẽ) (ảnh 1)

a) Tìm vec tơ \[\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \].

b) Cho biết mối quan hệ giữa vec tơ tìm được ở câu a) và vec tơ \[\overrightarrow {AO} \].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đăng ký

Bạn đã có tài khoản?

Khóa học 1 - 12
THPT
THCS
Phòng luyện đề
ĐGNL - ĐGTD
Tốt nghiệp THPT
Ôn vào 10
Ôn vào 6
Tài liệu
THPT
THCS
Tin Tuyển Sinh
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
Giấy chứng nhận ĐKKD số: 0108307822 do Sở KH & ĐT TP Hà Nội cấp lần đầu ngày 04/06/2018
© 2017 Vietjack72. All Rights Reserved.
zalo Nhắn tin Zalo Hỏi bài tập