Cho hình hộp ABCD.EFGH. Điểm M  là trọng tâm của tam giác AFH (Hình 2.16).

a) Tìm \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {EH} \]                              

b) Tìm \[\overrightarrow v  = \overrightarrow {FA}  - \overrightarrow {BD} \]

c) Chứng minh rằng ba điểm E, M, C thẳng hàng.

d) Tính độ dài của \[\overrightarrow {EM} \] trong trường hợp ABCD.EFGH là hình hộp đứng có các cạnh AB = 5, AD = 6,  AE = 10 và \[\widehat {ABC}\] = 120°.

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \).

Do đó \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN} \).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng AD nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\).

Vì \(N\) là trung diểm của đoạn thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} )\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \).