Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng: \[2\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} \; = 3(\overrightarrow {SI} \; + \overrightarrow {SJ} )\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Vì \({\rm{I}}\) là trọng tâm của \({\rm{DABC}}\) nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SI} + \overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SI} + \overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SI} = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SI} (1).\)Tương tự, \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SD} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SJ} \) (2).
Cộng từng vế (1) và (2), ta có: \(2\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + 2\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 3(SI + \overrightarrow {SJ} )\).
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
c) Để chứng minh E, M, C thẳng hàng, ta sẽ chứng minh \[\overrightarrow {EC} = k\overrightarrow {EM} \] với k là một số thực nào đó.
Do M là trọng tâm của tam giác AFH nên ta có: \[\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} = 3\overrightarrow {EM} \]
Mặt khác, theo quy tắc hình hộp thì: \[\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {EC} \]
Suy ra \[\overrightarrow {EC} = 3\overrightarrow {EM} \]. Vậy ba điểm E, M, C thẳng hàng.
d) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có: AC2 = 52 + 62 − 2.5.6.cos 120° = 91.
Khi ABCD.EFGH là hình hộp đứng thì EAC là tam giác vuông tại A, do đó:
EC2 = EA2 + AC2 = 100 + 91 = 191. Suy ra EM = \[EM = \frac{1}{3}\sqrt {191} \].
Lời giải
a) Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \).
Do đó \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} \).
Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng AD nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} = \vec 0\).
Vì \(N\) là trung diểm của đoạn thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} = \vec 0\).
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} )\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} \).
Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \).
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\).
Do đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo