Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có M là trung điểm của BB′ . Đặt \[\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {CB}  = {\overrightarrow b _,}\overrightarrow {CC'} \; = {\overrightarrow c _.}\]. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow b  - \overrightarrow a  + \frac{1}{2}{\overrightarrow c _.}\]

 

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \).

Do đó \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN} \).

Vì \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng AD nên \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \vec 0\).

Vì \(N\) là trung diểm của đoạn thẳng BC nên \(\overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CN}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} )\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB} ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC} ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \).

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác BCD nên \(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = 3\overrightarrow {AG} \).