Câu hỏi:

30/07/2025 39 Lưu

Cho cot \(\alpha = 2\). Khi đó, ta có \(B = \frac{{\sin \alpha + 2\cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha - {{\cos }^3}\alpha }} = - \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(a - b\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Lời giải

Vì \(\cot \alpha = 2 \Rightarrow \sin \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu của B cho \({\sin ^3}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {\sin \alpha + 2\cos \alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}}{{\left( {{{\sin }^3}\alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\sin }^3}\alpha }}}} = \frac{{\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + 2\cot \alpha \cdot \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }}\)\(\)

\( = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha + 2\cot \alpha \left( {1 + {{\cot }^2}\alpha } \right)}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} = \frac{{2{{\cot }^3}\alpha + {{\cot }^2}\alpha + 2\cot \alpha + 1}}{{1 - {{\cot }^3}\alpha }} = - \frac{{25}}{7} = - \frac{a}{b}\).

Suy ra \(\frac{a}{b} = \frac{{25}}{7}\) và \(a = 25,b = 7\). Vậy \(a - b = 25 - 7 = 18\).

Đáp án: 18.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

\(\tan \alpha - \cot \alpha = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 9\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 11\).

Lời giải

Lời giải

Vì \(\tan \alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha \ne 0\). Chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}\alpha \) ta được:

\(B = \frac{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + 1} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{\left( {2{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\tan }^2}\alpha + 1}}{{2 - {{\tan }^2}\alpha }} = 3\).

Đáp án: 3.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP