Cho tam giác ABC có điểm D ở chính giữa cạnh AC và điểm E ở chính giữa cạnh AB. Hai đoạn thẳng BD và CE gặp nhau ở điểm G (như hình vẽ):

a) So sánh diện tích hai tam giác GBE và GCD.

b) So sánh diện tích ba tam giác GAB, GBC, GCA

c) Kéo dài AG cắt BC ở điểm M. So sánh hai đoạn thẳng MB và MC.

a). Do \(AD = \frac{1}{3}AC\) nên \({S_{ABD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\).

Vì 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ B

b). Tương tự ta có \({S_{AED}} = \frac{1}{3}{S_{AEC}}\)

Nên \({S_{AEC}} = 8 \times 3 = 24{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Mà \(AE = \frac{2}{3}AB\) và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.

Nên \({S_{AEC}} = \frac{2}{3}{S_{ABC}}\)

Diện tích tam giác ABC: \(24:2 \times 3 = 36{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

c). \({S_{EBD}} = \frac{1}{3}{S_{ABD}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times {S_{ABC}} = 4{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{EBC}} = 12{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) ………………….. (\(\frac{1}{3}\)của \({S_{ABC}}\))

\({S_{DEC}} = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) …………….. (\(\frac{2}{3}\) của \({S_{AEC}}\))

Hai tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích.

Tỉ số: \(\frac{{BH}}{{DK}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{{S_{EBG}}}}{{{S_{DEG}}}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra \({S_{DEG}} = 4:(4 + 3) \times 4 = \frac{{16}}{7}{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{DCG}} = {S_{DEC}} - {S_{DEG}} = 16 - \frac{{16}}{7} = \frac{{96}}{7}{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Tỉ số của EG và CG là tỉ số của \({S_{DEG}}\) và \({S_{DCG}}\): \(\frac{{\frac{{16}}{7}}}{{\frac{{96}}{7}}} = \frac{{16}}{{96}} = \frac{1}{6}\)

Chiều cao của tam giác ABC (hạ từ đỉnh C) cũng bằng chiều cao của hình thang và bằng chiều cao hạ từ A của tam giác ADC và nó bằng:

\(2 \times 54:10,8 = 10{\rm{ (cm)}}\)

Diện tích tam giác ADC là: \(27 \times 10:2 = 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(135{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).