Cho tam giác ABC có diện tích là \(180{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\). Biết \(AB = 3BM\); \(AN = NP = PC\); \(QB = QC\). Tính diện tích tam giác MNPQ. (xem hình vẽ)

Chiều cao của tam giác ABC (hạ từ đỉnh C) cũng bằng chiều cao của hình thang và bằng chiều cao hạ từ A của tam giác ADC và nó bằng:

\(2 \times 54:10,8 = 10{\rm{ (cm)}}\)

Diện tích tam giác ADC là: \(27 \times 10:2 = 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(135{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

a). Do \(AD = \frac{1}{3}AC\) nên \({S_{ABD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\).

Vì 2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ B

b). Tương tự ta có \({S_{AED}} = \frac{1}{3}{S_{AEC}}\)

Nên \({S_{AEC}} = 8 \times 3 = 24{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Mà \(AE = \frac{2}{3}AB\) và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.

Nên \({S_{AEC}} = \frac{2}{3}{S_{ABC}}\)

Diện tích tam giác ABC: \(24:2 \times 3 = 36{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

c). \({S_{EBD}} = \frac{1}{3}{S_{ABD}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times {S_{ABC}} = 4{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{EBC}} = 12{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) ………………….. (\(\frac{1}{3}\)của \({S_{ABC}}\))

\({S_{DEC}} = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\) …………….. (\(\frac{2}{3}\) của \({S_{AEC}}\))

Hai tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích.

Tỉ số: \(\frac{{BH}}{{DK}} = \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\)

Tương tự ta có: \(\frac{{{S_{EBG}}}}{{{S_{DEG}}}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra \({S_{DEG}} = 4:(4 + 3) \times 4 = \frac{{16}}{7}{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

\({S_{DCG}} = {S_{DEC}} - {S_{DEG}} = 16 - \frac{{16}}{7} = \frac{{96}}{7}{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Tỉ số của EG và CG là tỉ số của \({S_{DEG}}\) và \({S_{DCG}}\): \(\frac{{\frac{{16}}{7}}}{{\frac{{96}}{7}}} = \frac{{16}}{{96}} = \frac{1}{6}\)