Cho tam giác ABC có diện tích bằng \(18{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\). Biết \(DA = 2DB\); \(EC = 3EA\); \(MC = MB\) (hình vẽ). Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE.

Chiều cao của tam giác ABC (hạ từ đỉnh C) cũng bằng chiều cao của hình thang và bằng chiều cao hạ từ A của tam giác ADC và nó bằng:

\(2 \times 54:10,8 = 10{\rm{ (cm)}}\)

Diện tích tam giác ADC là: \(27 \times 10:2 = 135{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}\)

Đáp Số: \(135{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

a) Hai tam giác CAB và CEB có chung đường cao hạ từ C xuống AB và \(EB = \frac{{AB}}{2}\) nên: \({S_{CEB}} = \frac{1}{2}{S_{CAB}}{\rm{ (1)}}\)

Hai tam giác BAC và BDC có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DC = \frac{{AC}}{2}\) nên:

\({S_{BDC}} = \frac{1}{2}{S_{BAC}}{\rm{ (2)}}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{CEB}} = {S_{BDC}}\)

Hai hình tam giác này có phần chung là tam giác GBC do đó: \({S_{GBE}} = {S_{BCD}}{\rm{ (3)}}\)

b) Hai tam giác GBE và GAE có chung đường cao vẽ từ G xuống AB và \(EA = EB\) nên \({S_{GBE}} = {S_{GAE}}{\rm{ (4)}}\)

Hai tam giác GDA và GDC có chung đường cao vẽ từ G xuống AC và \(DA = EC\) nên \({S_{GDA}} = {S_{GDC}}{\rm{ (5)}}\)

Từ (3), (4) và (5) ta có: \({S_{GAB}} = {S_{GAC}}{\rm{ (6)}}\)

Hai tam giác ABD và CBD có chung đường cao hạ từ B xuống AC và \(DA = DC\) nên \({S_{ABD}} = {S_{CBD}}\)

Mà hai tam giác này chứa hai hình tam giác có diện tích bằng nhau (\({S_{GDC}} = {S_{GDA}}\)).

Vậy: \({S_{GAB}} = {S_{GBC}} = {S_{GAC}}\)

c) Theo (6) và hai tam giác này có chung đáy AG nên hai đường cao (vẽ từ B và C xuống AG) bằng nhau.

- Hai đường cao này cũng là hai đường cao của hai hình tam giác BGM và CGM vẽ từ B và C xuống GM. Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy GM nên \({S_{BGM}} = {S_{CGM}}\)

- Mà hai tam giác này lại có chung đường cao vẽ từ G xuống BC. Do đó hai đáy \(BM = CM\)