Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 1, có vận tốc tức thời cho bởi v(t) = 4cos t, trong đó t tính bằng giây và v(t) tính bằng centimét/giây. Tại thời điểm t = 0, con lắc đó ở vị trí cân bằng. Lập phương trình chuyển động của con lắc đó?

a) Công thức chiều cao \(h(t)\) của cây sau \(t\) năm là một nguyên hàm của hàm số \({h^\prime }({\rm{t}})\).

Ta có \(\int {{h^\prime }} (t)dt = \int {(1,5t + 5)} dt = \int 1 ,5tdt + \int 5 dt = 0,75{t^2} + 5t + C\).

Suy ra \(h(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\).

Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên \({\rm{h}}(0) = 12\).

Do đó \(0,75 \cdot {0^2} + 5 \cdot 0 + C = 12\), suy ra \(C = 12\).

Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là \(h(t) = 0,75{t^2} + 5t + 12\).

b) Khi cây được bán, tức là \({\rm{t}} = 6\), ta có \({\rm{h}}(6) = 0,75 \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69\).

Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.

Gọi \(S(t)(0 \le t \le 30)\) là quãng đường máy bay di chuyển được sau \(t\) giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có \(v(t) = {S^\prime }(t)\). Do đó, \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc \(v(t)\). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được: \(S(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {(5 + 3t)} {\rm{d}}t = 5\int {\rm{d}} t + 3\int t \;{\rm{d}}t = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.\)

Theo giả thiết, \(S(0) = 0\) nên \(C = 0\) và ta được \(S(t) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t(\;{\rm{m}})\).

Máy bay rời đường băng khi \(t = 30\) (giây) nên \(S = S(30) = \frac{3}{2} \cdot {30^2} + 5 \cdot 30 = 1500(\;{\rm{m}})\).