Khi được thả từ độ cao 20m, một vật rơi với gia tốc a = 10 m/s2. Sau khi rơi được t giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

a) Công thức chiều cao \(h(t)\) của cây sau \(t\) năm là một nguyên hàm của hàm số \({h^\prime }({\rm{t}})\).

Ta có \(\int {{h^\prime }} (t)dt = \int {(1,5t + 5)} dt = \int 1 ,5tdt + \int 5 dt = 0,75{t^2} + 5t + C\).

Suy ra \(h(t) = 0,75{t^2} + 5t + C\).

Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên \({\rm{h}}(0) = 12\).

Do đó \(0,75 \cdot {0^2} + 5 \cdot 0 + C = 12\), suy ra \(C = 12\).

Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là \(h(t) = 0,75{t^2} + 5t + 12\).

b) Khi cây được bán, tức là \({\rm{t}} = 6\), ta có \({\rm{h}}(6) = 0,75 \cdot {6^2} + 5 \cdot 6 + 12 = 69\).

Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.

Gọi \(S(t)(0 \le t \le 30)\) là quãng đường máy bay di chuyển được sau \(t\) giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.

Ta có \(v(t) = {S^\prime }(t)\). Do đó, \(S(t)\) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc \(v(t)\). Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được: \(S(t) = \int v (t){\rm{d}}t = \int {(5 + 3t)} {\rm{d}}t = 5\int {\rm{d}} t + 3\int t \;{\rm{d}}t = 5t + \frac{3}{2}{t^2} + C.\)

Theo giả thiết, \(S(0) = 0\) nên \(C = 0\) và ta được \(S(t) = \frac{3}{2}{t^2} + 5t(\;{\rm{m}})\).

Máy bay rời đường băng khi \(t = 30\) (giây) nên \(S = S(30) = \frac{3}{2} \cdot {30^2} + 5 \cdot 30 = 1500(\;{\rm{m}})\).