Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mổi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình \(x + \) \(y + z - 27 = 0\)

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Hình vẽ dưới đây minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết \(A(50;0;0),D(0;20;0),B(4k;3k;2k)\) với \(k > 0\) và mặt phẳng \((CBEF)\) có phương trình là \(z = 3\).

a) Tìm tọa độ của điểm \(B\).

b) Lập phương trình mặt phẳng \((AOBC)\).

c) Lập phương trình mặt phẳng ( \(DOBE)\).

d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((AOBC)\) và \((DOBE)\).

Hình vẽ minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mặt cắt bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm\(A(2;1;3),B(4;3;3)\), \(C(6;3;2,5),D(4;0;2,8)\).

 a) Lập phương trình mặt phẳng \((ABC)\).

b) Bốn điểm A, B, C, Dcó đồng phẳng hay không?

Một nhà kho được vẽ trong hệ tọa độ Oxyx như hình bên, Các bức tường của nhà kho được xây vuông góc với mặt đất, đơn vị trên mỗi trục là mét.

a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng với hai mái nhà

b) Tìm tọa độ điểm Q

c) Tìm tọa độ véctơ \[\overrightarrow {PQ} \]

Khối rubik được gắn vơi hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ (Hình vẽ ). Xét bốn điểm \(A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;2)\) và \(D(1;1;1)\).

a) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

b) Bốn điểm A, B, C, D có đồng phẳng hay không?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ( đơn vị trên trục tọa độ là kiloomet), một máy bay đang ở vị trí A(3; -2,5; 0,5) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(3; 7,5; 0) trên đường băng như hình bên dưới

a) Sau bao nhiêu phút máy bay từ vị trí A hạ cánh tại vị trí B? Biết tọa độ của máy bay là 300 km/h trên quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút)

b) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng \[\left( \alpha  \right)\] đi qua ba điểm \[M(9;0;0)\], \[N(0; - 9;0)\], \[P(0;0;0,9)\]. Tính độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

Góc quan sát ngang của một camera là ${115}^{\circ }$. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm \(C(1;2;4)\) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng \((P):x + 2y + 2z + 3 = 0\). Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng \((P)\) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí \(A(3;4;33),D(9;8;35)\) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét?