Hình vẽ dưới đây minh hoạ hình ảnh một toà nhà trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Biết \(A(50;0;0),D(0;20;0),B(4k;3k;2k)\) với \(k > 0\) và mặt phẳng \((CBEF)\) có phương trình là \(z = 3\).

a) Tìm tọa độ của điểm \(B\).

b) Lập phương trình mặt phẳng \((AOBC)\).

c) Lập phương trình mặt phẳng ( \(DOBE)\).

d) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng \((AOBC)\) và \((DOBE)\).

a) Ta có:\(\overrightarrow {AB}  = (2;2;0),\overrightarrow {AC}  = (4;2; - 0,5)\) nên \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\2&{ - 0,5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\{ - 0,5}&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}2&2\\4&2\end{array}} \right|} \right) = ( - 1;1; - 4)\)

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(( - 1) \cdot (x - 2) + 1 \cdot (y - 1) + ( - 4) \cdot (z - 3) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4z - 13 = 0.{\rm{ }}\)

b) Vì\(4 - 0 + 4 \cdot 2,8 - 13 = 2,2 \ne 0\) nên điểm \(D(4;0;2,8)\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\). Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là \((ABP)\) và \((CDP)\).

\( \bullet \) Do mặt phẳng \((ABP)\) có cặp vectơ chỉphương là \(\overrightarrow {AB}  = (0;20;1),\overrightarrow {AP}  = ( - 5;0; - 3)\) nên có một vectơ pháp tuyến là: \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AP} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{20}&1\\0&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\{ - 3}&{ - 5}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{20}\\{ - 5}&0\end{array}} \right|} \right) = ( - 60; - 5;100).\)

Mà mặt phẳng \((ABP)\) đi qua điểm \(A(10;0;9)\) nên có phương trình là:

\( - 60(x - 10) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 \Leftrightarrow 12x + y - 20z + 60 = 0.\)

\( \bullet \) Do mặt phẳng \((CDP)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {DP}  = (5;0; - 3),\overrightarrow {DC}  = (0;20;1)\) nên có một vectơ pháp tuyến là: \([\overrightarrow {DP} ,\overrightarrow {DC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 3}\\{20}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&5\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&0\\0&{20}\end{array}} \right|} \right) = (60; - 5;100).\)

Mà mặt phẳng \((CDP)\) đi qua điểm \(D(0;0;9)\) nên có phương trình là:

\(60(x - 0) - 5(y - 0) + 100(z - 9) = 0 \Leftrightarrow 12x - y + 20z - 180 = 0.\)

b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên vởi hệ toạ độ trên ta có \(Q(x;20;z)\).

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((ABP)\) nên toạ độ của điểm \(Q\) thoả mãn:

\(12x + 20 - 20z + 60 = 0,{\rm{ tức là  }}3x - 5z =  - 20.{\rm{ }}\)

Do điểm \(Q\) thuộc mặt phẳng \((CDP)\) nên toạ độ của điểm \(Q\) thoả mãn \(12x - 20 + 20z - 180 = 0\), tức là \(3x + 5z = 50\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 5z =  - 20}\\{3x + 5z = 50}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{z = 7}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(Q(5;20;7)\).

c) Với \(P(5;0;6)\) và \(Q(5;20;7)\) ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = (0;20;1)\).