Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, tính \(\sin \alpha \).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a,\) gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(A'B\) và mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\) Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, tính \(\sin \alpha \).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn C
+ Từ hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right)\,,\,B\left( {a;0;0} \right)\,,\,C\left( {a;a;0} \right)\,,\,D\left( {0;a;0} \right)\),\(A'\left( {0;0;a} \right)\,,\,\)
\(B'\left( {a;0;a} \right)\,,\,\)\(C'\left( {a;a;a} \right)\,,\,D'\left( {0;a;a} \right).\)
+Ta thấy \(OC \bot \left( {BB'D'D} \right)\) và \(\overrightarrow {OC} = \left( {a;a;0} \right)\) nên suy ra mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0.} \right)\).
+Đường thẳng \(A'B\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} = \left( {a;0; - a} \right)\) ta chọn \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right).\)
+Ta có \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\,\overrightarrow n .\overrightarrow {u\,} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{{\left| {1.1 + 1.0 + 0.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn B
Gọi \[I\] hình chiếu của \[M\] lên \[\left( {ABCD} \right)\], suy ra \[I\] là trung điểm của \[AO\].
Khi đó \[CI = \frac{3}{4}AC = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\].
Xét \[\Delta CNI\]có: \[CN = \frac{a}{2}\], \[\widehat {NCI} = {45^o}\].
Áp dụng định lý cosin ta có:
\[NI = \sqrt {C{N^2} + C{I^2} - 2CN.CI.\cos {{45}^o}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{9{a^2}}}{8} - 2.\frac{a}{2}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\].
Xét \[\Delta MIN\] vuông tại \[I\]nên \[MI = \sqrt {M{N^2} - N{I^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{2} - \frac{{5{a^2}}}{8}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\].
Mà \[MI//SO,\,MI = \frac{1}{2}SO \Rightarrow SO = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\].
Chọn hệ trục tọa độ \[Oxyz\]như hình vẽ:
Ta có: \[O\left( {0\,;\,0;\,0} \right)\], \[B\left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[D\left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,0} \right)\], \[C\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[N\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4};\,0} \right)\],
\[A\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;0\,;\,0} \right)\], \[S\left( {0\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\], \[M\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;0\,;\,\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)\].
Khi đó \[\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{4}\,;\, - \frac{{\sqrt {14} }}{4}\,} \right)\,\,\], \[\overrightarrow {SB} = \left( {0\,;\,\frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\], \[\overrightarrow {SD} = \left( {0\,;\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, - \frac{{\sqrt {14} }}{2}\,} \right)\].
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\]: \[\overrightarrow n = \overrightarrow {SB} \wedge \overrightarrow {SD} = \left( { - \sqrt 7 \,;\,0\,;\,0} \right)\].
Suy ra \[{\rm{sin}}\left( {MN\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - \sqrt 7 .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right|}}{{\sqrt 7 .\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
Lời giải
Chọn A
Đường thẳng \(d\)có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;0} \right)\)
Gọi \(\alpha \)là góc giữa Đường thẳng \(d\)và Mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó ta có
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.1 + 2.\left( { - 1} \right) + 1.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Do đóLời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo