Câu hỏi:

11/08/2025 48 Lưu

Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy là hình thoi, tam giác \[ABD\] đều. Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(C'D'\), biết rằng \(MN \bot B'D\). Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(MN\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), khi đó \(\cos \alpha \) bằng:

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Chọn A

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và C'D', biết rằng MN vuông góc B'D (ảnh 1)

* Chọn \(AB = 2 \Rightarrow BD = 2;AC = 2\sqrt 3 \), đặt

\(AA' = h\), chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ ta có: \(D\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\), \(D'\left( {1;0;h} \right)\), \(C'\left( {0;\sqrt 3 ;h} \right)\), \(B'\left( { - 1;0;h} \right)\).

\( \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};h} \right)\), \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;h} \right)\), \(\overrightarrow {B'D}  = \left( {2;0; - h} \right)\).

* Do \(MN \bot B'D \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D}  = 0 \Leftrightarrow 2 - {h^2} = 0 \Rightarrow h = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\). Ta có:

\(MN{\rm{//}}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\), \(\left( {ABCD} \right) \bot \overrightarrow n  = \overrightarrow j  = \left( {0;0;1} \right)\).

* Do \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(MN\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) nên ta có:

\(\sin \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Chọn A

Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là \[{\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)\], \[{\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)\]

\[(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\]

Câu 2

Lời giải

Chọn A

Áp dụng công thức ở lý thuyết.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP