Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạp bởi \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạp bởi \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
A. \[\frac{{\sqrt 3 }}{7}\].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Chọn C
Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông \[a = 1\].
Gọi \[O,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]. Vì \[SAB\] là tam giác đều và \[\left( {SAB} \right)\] vuông góc với \[\left( {ABCD} \right)\]nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].
Xét hệ trục \[Oxyz\] có \[O\left( {0;0;0} \right),M\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\]. Khi đó \[C\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};0} \right)\].
Suy ra \[\overrightarrow {SA} = \left( {0;\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {SC} = \left( {1;\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD} = \left( {0;1;0} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\].
Mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;1} \right)\].
Vậy \[\cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{5}{7}\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng \[(P)\], \[(Q)\] có vectơ pháp tuyến lần lượt là \[{\vec n_p} = \left( {m + 2;2m; - m} \right)\], \[{\vec n_Q} = \left( {m;m - 3;2} \right)\]
\[(P) \bot (Q) \Leftrightarrow {\vec n_p}.{\vec n_Q} = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)m + 2m\left( {m - 3} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\]
Câu 2
Lời giải
Chọn C
Đặt hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ. Khi đó, ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(D\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\), \(S\left( {0;0;a} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {BD} = \left( { - a;a\sqrt 3 ;0} \right) = a\left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\), nên đường thẳng \(BD\) có véc-tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;\sqrt 3 ;0} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {SB} = \left( {a;0; - a} \right)\), \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right)\) \( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( {{a^2}\sqrt 3 ;0;{a^2}\sqrt 3 } \right)\)\( = {a^2}\sqrt 3 \left( {1;0;1} \right)\).
Như vậy, mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)có véc-tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;0;1} \right)\).
Do đó, \(\alpha \) là góc tạo bởi giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì
\(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).1 + \sqrt 3 .0 + 0.1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\sqrt 3 }^2} + {0^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} }}\)\( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập