Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạp bởi \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Chú ý: Ta có thể giải bài toán với cạnh hình vuông \[a = 1\].

Gọi \[O,M\] lần lượt là trung điểm của \[AB,CD\]. Vì \[SAB\] là tam giác đều và \[\left( {SAB} \right)\] vuông góc với \[\left( {ABCD} \right)\]nên \[SO \bot \left( {ABCD} \right)\].

Xét hệ trục \[Oxyz\] có \[O\left( {0;0;0} \right),M\left( {1;0;0} \right),A\left( {0;\frac{1}{2};0} \right),S\left( {0;0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\]. Khi đó \[C\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};0} \right),D\left( {1;\frac{1}{2};0} \right)\].

Suy ra \[\overrightarrow {SA}  = \left( {0;\frac{1}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {AC} \left( {1; - 1;0} \right),\overrightarrow {SC}  = \left( {1;\frac{{ - 1}}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right),\overrightarrow {CD}  = \left( {0;1;0} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( {SAD} \right)\] có véc tơ pháp tuyến \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;1} \right)\].

Vậy \[\cos \varphi  = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{5}{7}\].