Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh \[a\], cạnh bên \[SA = 2a\] và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \[M\] là trung điểm cạnh \[SD\]. Tang của góc tạo bởi hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] bằng

Chọn hệ trục tọa độ và chuẩn hóa cho \[a = 1\] sao cho \[A\left( {0;0;0} \right)\], \[B\left( {0;1;0} \right)\], \[D\left( {1;0;0} \right)\], \[S\left( {0;0;2} \right)\]

Ta có \[M\] là trung điểm \[SD\]\[ \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\], \[C\left( {1;1;0} \right)\].

\[\overrightarrow {AM}  = \left( {\frac{1}{2};0;1} \right)\], \[\overrightarrow {AC}  = \left( {1;1;0} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;1;\frac{1}{2}} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {AMC} \right)\] có một vtpt \[\vec n = \left( { - 2;2;1} \right)\]

\[\overrightarrow {SB}  = \left( {0;1; - 2} \right)\], \[\overrightarrow {SC}  = \left( {1;1; - 2} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;2;1} \right)\]\[ \Rightarrow \left( {SBC} \right)\] có một vtpt \[\vec k = \left( {0;2;1} \right)\]

Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {AMC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] thì \[\cos \alpha  = \frac{{\left| {\vec n.\vec k} \right|}}{{\left| {\vec n} \right|.\left| {\vec n} \right|}}\]\[ = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\]

Do \[\tan \alpha  > 0\] nên \[\tan \alpha  = \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} \]\[ = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\].