Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}\);

b) \({\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}\);

c) \({\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}\) và \({\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}\).

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}( - 1; - 5;5)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (3;4; - 1)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 13;5; - 17)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (5; - 2;7)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\frac{3}{5} \ne \frac{4}{{ - 2}}\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 12;10; - 22),{\rm{ }}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&{ - 1}\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (26; - 26; - 26).\)

Do \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 26 \cdot ( - 12) + ( - 26) \cdot 10 + ( - 26) \cdot ( - 22) = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}(2; - 1;4)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2;3; - 7)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 10; - 19;45)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 6; - 9;21)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\overrightarrow {{u_2}}  =  - 3\overrightarrow {{u_1}} \), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 12; - 18;41){\rm{ v\`a  }}\frac{{ - 12}}{2} = \frac{{ - 18}}{3} \ne \frac{{41}}{{ - 7}}{\rm{ n\^e n }}\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_1}( - 3;5;2)\) và có \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;1;3)\) là vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({{\rm{M}}_2}( - 13;9; - 13)\) và có \(\overrightarrow {{u_2}}  = (5; - 2;7)\) là vectơ chỉ phương.

Ta có \(\frac{1}{5} \ne \frac{1}{{ - 2}}\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

\(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = ( - 10;4; - 15),{\rm{ }}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\{ - 2}&7\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{l}}3&1\\7&5\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\5&{ - 2}\end{array}} \right|} \right) = (13;8; - 7).\)

Do \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}}  \cdot \overrightarrow {{u_2}} } \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 13 \cdot ( - 10) + 8 \cdot 4 + ( - 7) \cdot ( - 15) = 7 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không đồng phẳng.

Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.