Cho hình hộp chữ nhật \(OABC \cdot {O^\prime }{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\), với \(O\) là gốc toạ độ, \(A(2;0;0),C(0;6;0)\), \({O^\prime }(0;0;4)\). Viết phương trình:

a) Mặt phẳng \(\left( {{O^\prime }AC} \right)\);

b) Đường thẳng \({\rm{C}}{{\rm{O}}^\prime }\);

c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp.

a) Mặt phẳng đoạn chắn của (O'AC) là \(\frac{x}{2} + \frac{y}{6} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 2y + 3z - 12 = \) 0 .

b) Đường thằng \({\rm{C}}{{\rm{O}}^\prime }\) đi qua \({\rm{C}}(0;6;0)\) nhận \(\frac{1}{2}\overrightarrow {C{O^\prime }}  = (0; - 3;2)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 6 - 3t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

c) Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình hộp có tâm I là trung điểm của \({{\rm{O}}^\prime }{\rm{B}}\) và bán kính \({10^\prime }\).

Có \(\quad B(2;\quad 6;2),\quad {{\rm{O}}^\prime }(0;0;\quad 4)\). Suy ra \(\quad {\rm{I}}(1;2;2)\) và \(I{O^\prime } = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2} + {{(4 - 2)}^2}}  = \sqrt {14} \).

Phương trình mặt cầu là: \({(x - 1)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 2)^2} = 14\).