Cho bốn điểm \(A(0;1;1),B( - 1;0;3),C(0;0;2)\) và \(D(1;1; - 2)\).

a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\).

b) Lập phương trình tham số của các đường thẳng AB và AC.

c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng \((ABC)\).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2),\overrightarrow {AC}  = (0; - 1;1),[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = (1;1;1)\).

b) Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - {t_1}}\\{y = 1 - {t_1}}\\{z = 1 + 2{t_1}}\end{array}} \right.\) ( \({t_1}\) là tham số).

Phương trình tham số của đường thẳng AC là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 1 - {t_2}}\\{z = 1 + {t_2}}\end{array}} \right.\) ( \({t_2}\) là tham số).

c) Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là: \(x + y + z - 2 = 0\).

d) Ta có: \(1 + 1 - 2 - 2 \ne 0\). Suy ra tọa độ của điểm \(D(1;1; - 2)\) không thoả mãn phương trình \(x + y + z - 2 = 0\). Vậy \(D\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\) hay A, B, C, Dkhông đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng \((ABC)\) là: \(\frac{{|1 + 1 - 2 - 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).