Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;0;2)\) và hai đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \({d^\prime }:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \(d\) và \({d^\prime }\).

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) và song song với đường thẳng \(d\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa \(A\) và \(d\).

d) Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) với mặt phẳng \((Oxz)\).

a) Đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{M}}(0;1\); 0) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\)

Đường thẳng d' đi qua điển \({\rm{N}}( - 1; - 2;3)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2;2; - 1)\)

Có \(\overrightarrow {MN}  = ( - 1; - 3;3),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = ( - 6;5; - 2) \ne \vec 0\)

Có \(\overrightarrow {MN} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 6 - 15 - 6 =  - 15 \ne 0\)

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vi \(\Delta //{\rm{d}}\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\) làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({\rm{A}}(1;0;2)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2;2)\) làm một vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\)

c) Có \(\overrightarrow {AM}  = ( - 1;1; - 2),\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = (6;0; - 3)\)

Mặt phằng \(({\rm{P}})\) đi qua \({\rm{A}}(1;0;2)\) và nhận \(\vec n = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = (2;0; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(2(x - 1) - (z - 2) = 0\) hay \(2x - z = 0\).

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: \(y = 0\).

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}}\\{y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - \frac{1}{2}}\\{y = 0}\\{z =  - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ là \(\left( { - \frac{1}{2};0; - 1} \right)\)