Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \((P):x - 2y + 2z - 1 = 0\) và hai điểm \(A(1; - 1;2)\), \(B( - 1;1;0)\).

a) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((P)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((Q)\) đi qua \(A\) và song song với mặt phẳng \((P)\).

c) Viết phương trình mặt phẳng \((R)\) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng \((P)\).

a) \(d(A,(P)) = \frac{{|1 - 2.( - 1) + 2.2|}}{{\sqrt {1 + {{( - 2)}^2} + {2^2}} }} = \frac{7}{3}\)

b) Mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 2;2)\)

Vi (Q) // (P) nên mặt phẳng \(({\rm{Q}})\) nhận \(\vec n = (1; - 2;2)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng \((Q)\) là: \(x - 1 - 2(y + 1) + 2(z - 2) = 0\) hay \(x - 2y + 2z - 7\) \( = 0\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2;2; - 2)\)

Mặt phằng \(({\rm{P}}):x - 2y + 2z - 1 = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1; - 2;2)\) Có \([\overrightarrow {AB} ,\vec n] = (0;2;2)\)

Mặt phẳng \(({\rm{R}})\) đi qua \({\rm{A}}(1; - 1;2)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_R}}  = \frac{1}{2}[\overrightarrow {AB} ,\vec n] = (0;1;1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: \(y + 1 + {\rm{z}} - 2 = 0\) hay \({\rm{y}} + {\rm{z}} - 1 = 0\).