Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (Hình vẽ ) được đặt ở vị trí \(I( - 3;2;7)\).
a) Sử dụng phương trình mặt cẩu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km .
b) Điểm \(A( - 2;1;8)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm \(A( - 2;1;8)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
c) Điểm \(B(2;3;4)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoạiở điểm \(B(2;3;4)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (Hình vẽ ) được đặt ở vị trí \(I( - 3;2;7)\).
a) Sử dụng phương trình mặt cẩu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian, biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km .
b) Điểm \(A( - 2;1;8)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoại ở điểm \(A( - 2;1;8)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
c) Điểm \(B(2;3;4)\) nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu đó? Nếu người dùng điện thoạiở điểm \(B(2;3;4)\) thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm này hay không?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là:
\({(x + 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 7)^2} = 9.{\rm{ }}\)
b) Ta có: \(IA = \sqrt {{{[ - 2 - ( - 3)]}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(8 - 7)}^2}} = \sqrt 3 < 3\).
Vì \(IA < R\) nên điểm \(A\) nằm trong mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm \(A( - 2;1;8)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
c) Ta có: \(IB = \sqrt {{{[2 - ( - 3)]}^2} + {{(3 - 2)}^2} + {{(4 - 7)}^2}} = \sqrt {35} > 3\).
Vì \(IB > R\) nên điểm \(B\) nằm ngoài mặt cầu. Vậy người dùng điện thoại ở điểm \(B(2;3;4)\) không thể sử dụng dịch vụ của trạm này.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}( - 688\); - 185; 8) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (91;75;0)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 688 + 91t}\\{y = - 185 + 75t{\rm{ (t là tham s?)}}{\rm{. }}}\\{z = 8}\end{array}} \right.\)
Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.
Vi B \(B\) d nên B(- 688 + 91t; - 185 + 75t; 8).
\(B\) là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi \({\rm{OB}} = 417\), tức là \(\sqrt {{{( - 688 + 91t)}^2} + {{( - 185 + 75t)}^2} + {8^2}} = 417\)\( \Leftrightarrow 13906{t^2} - 152966t + 333744 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3{\rm{ hay }}t = 8.{\rm{ }}\)
\( + {\rm{ Vì }} = 3,{\rm{ ta có }}B( - 415;40;8){\rm{. }}\)
+ Với \( = 3\), ta có \(B( - 415;40;8)\).
Khi đó \({\rm{AB}} = \sqrt {{{( - 415 + 688)}^2} + {{(40 + 185)}^2}} \approx 353,77\).
+ Với \({\rm{t}} = 8\), ta có \({\rm{B}}( - 88;415;8)\). Khi đó \(AB = \sqrt {{{( - 88 + 688)}^2} + {{(415 + 185)}^2}} \approx 848,53\).
Vi \(353,77 < 848,53\) nên tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là \(( - 415;40;8)\).
b) Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{OH}} \bot {\rm{d}}\).
Vi H \( \in \) d nên \(H( - 688 + 91t\) '; - \(185 + 75\) t'; 8).
Ta có \(\overrightarrow {OH} = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)\).
\({\rm{OH}} \bot {\rm{d}} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} \bot \vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} \cdot \vec u = 0\)
\( \Leftrightarrow ( - 688 + 91t) \cdot 91 + ( - 185 + 75t) \cdot 75 + 8 \cdot 0 = 0\)
\( \Leftrightarrow 13906{{\rm{t}}^\prime } - 76483 = 0 \Leftrightarrow {{\rm{t}}^\prime } = \frac{{11}}{2}\). Suy ra H \(\left( { - \frac{{375}}{2};\frac{{455}}{2};8} \right)\).
Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:
\({\rm{OH}} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{455}}{2}} \right)}^2} + {8^2}} \approx 294,92(\;{\rm{km}}){\rm{. }}\)
c) Từ kết quả ở câu a), ta suy ra toạ độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là \(( - 88;415;8)\).
Lời giải
a) Ta có góc \(\theta \) mà đường bay tạo với phương ngang chính là góc giữa đường thẳng GH và mặt phẳng \(({\rm{Oxy}})\).
Tại thời điểm \({\rm{t}} = 0\) thì \(\overrightarrow {{r_0}} = (1;0,5;0)\). Trực thăng cất cánh từ điểm \(G\) nên \({\rm{G}}(1;0,5;0)\).
Tại thời điểm \({\rm{t}} = 1\), trực thăng bay đến vị trí K thuộc đường thẳng GH với \({\rm{K}}(2\); 2,5 ; 2 ).
Đường thẳng GH có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {GK} = (1;2;2)\) và mặt phẳng \(({\rm{Oxy}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\)
Ta có \(\sin ({\rm{GH}},({\rm{Oxy}})) = \frac{{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\).
Suy ra . Vậy
b) Gọi \({{\rm{K}}^\prime }\) là hình chiếu của điểm K lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó K (2; 2,5 ; 0).
Vi F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy) nên \({{\rm{K}}^\prime } \in {\rm{GF}}\).
Do đó đường thẳng GF có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {G{K^\prime }} = (1;2;0)\).
Phương trình tham số của đường thẳng GF là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + {t^\prime }}\\{y = 0,5 + 2{t^\prime }{\rm{ ( }}{{\rm{t}}^\prime }{\rm{ là tham }}}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) số).
c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km , tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây có cao độ \(z = 2\), khi đó \(2t = 2\), suy ra \(t = 1\).
Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là \((2;2,5;2)\).
d) Ta có \({\rm{H}}(1 + {\rm{t}};0,5 + 2{\rm{t}};2{\rm{t}})\). Khi đó, \(\overrightarrow {HM} = (4 - t;4 - 2t;3 - 2t)\).
Đường thẳng GH có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {GK} = (1;2;2)\).
HM vuông góc với đường bay GH khi \(\overrightarrow {HM} \bot \overrightarrow {GK} \Leftrightarrow \overrightarrow {HM} \cdot \overrightarrow {GK} = 0\)
\( \Leftrightarrow (4 - t) \cdot 1 + (4 - 2t) \cdot 2 + (3 - 2t) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2.{\rm{ }}\)
Vậy \({\rm{t}} = 2\) thì HM vuông góc với đường bay GH .
Khi đó, khoảng cách từ đỉnh núi đến máy bay trực thăng là:
\(HM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(4 - 2 \cdot 2)}^2} + {{(3 - 2 \cdot 2)}^2}} = \sqrt 5 (\;{\rm{km}})\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập