Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42).

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi vối thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí \(M\) cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm \(M\) là giao điểm của bốn mặt cầu vối tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh \(A(3; - 1;6),B(1;4;8)\), \(C(7;9;6),D(7; - 15;18)\). Tìm toạ độ của điểm \(M\) trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm \(M\) lần lượt là \(MA = 6,MB = 7,MC = 12,MD = 24\).

a) Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm \({\rm{A}}( - 688\); - 185; 8) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (91;75;0)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 688 + 91t}\\{y =  - 185 + 75t{\rm{ (t là  tham s?)}}{\rm{. }}}\\{z = 8}\end{array}} \right.\)

Gọi B là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Vi B \(B\) d nên B(- 688 + 91t; - 185 + 75t; 8).

\(B\) là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa khi \({\rm{OB}} = 417\), tức là \(\sqrt {{{( - 688 + 91t)}^2} + {{( - 185 + 75t)}^2} + {8^2}}  = 417\)\( \Leftrightarrow 13906{t^2} - 152966t + 333744 = 0\)\( \Leftrightarrow t = 3{\rm{ hay }}t = 8.{\rm{ }}\)

\( + {\rm{ Vì }} = 3,{\rm{ ta có  }}B( - 415;40;8){\rm{. }}\)

+ Với \( = 3\), ta có \(B( - 415;40;8)\).

Khi đó \({\rm{AB}} = \sqrt {{{( - 415 + 688)}^2} + {{(40 + 185)}^2}}  \approx 353,77\).

+ Với \({\rm{t}} = 8\), ta có \({\rm{B}}( - 88;415;8)\). Khi đó \(AB = \sqrt {{{( - 88 + 688)}^2} + {{(415 + 185)}^2}}  \approx 848,53\).

Vi \(353,77 < 848,53\) nên tọa độ vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa là \(( - 415;40;8)\).

b) Gọi H là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất. Khi đó, khoảng OH phải ngắn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \({\rm{OH}} \bot {\rm{d}}\).

Vi H \( \in \) d nên \(H( - 688 + 91t\) '; - \(185 + 75\) t'; 8).

Ta có \(\overrightarrow {OH}  = ( - 688 + 91t; - 185 + 75t;8)\).

\({\rm{OH}} \bot {\rm{d}} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH}  \bot \vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {OH}  \cdot \vec u = 0\)

\( \Leftrightarrow ( - 688 + 91t) \cdot 91 + ( - 185 + 75t) \cdot 75 + 8 \cdot 0 = 0\)

\( \Leftrightarrow 13906{{\rm{t}}^\prime } - 76483 = 0 \Leftrightarrow {{\rm{t}}^\prime } = \frac{{11}}{2}\). Suy ra H \(\left( { - \frac{{375}}{2};\frac{{455}}{2};8} \right)\).

Khoảng cách giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu lúc đó là:

\({\rm{OH}} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{375}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{455}}{2}} \right)}^2} + {8^2}}  \approx 294,92(\;{\rm{km}}){\rm{. }}\)

c) Từ kết quả ở câu a), ta suy ra toạ độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là \(( - 88;415;8)\).

a) Ta có góc \(\theta \) mà đường bay tạo với phương ngang chính là góc giữa đường thẳng GH và mặt phẳng \(({\rm{Oxy}})\).

Tại thời điểm \({\rm{t}} = 0\) thì \(\overrightarrow {{r_0}}  = (1;0,5;0)\). Trực thăng cất cánh từ điểm \(G\) nên \({\rm{G}}(1;0,5;0)\).

Tại thời điểm \({\rm{t}} = 1\), trực thăng bay đến vị trí K thuộc đường thẳng GH với \({\rm{K}}(2\); 2,5 ; 2 ).

Đường thẳng GH có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {GK}  = (1;2;2)\) và mặt phẳng \(({\rm{Oxy}})\) có vectơ pháp tuyến \(\vec k = (0;0;1)\)

Ta có \(\sin ({\rm{GH}},({\rm{Oxy}})) = \frac{{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}\).

Suy ra $(\text{GH},(\text{Oxy}\left)\right)\approx {42}^{°}$. Vậy $\theta \approx {42}^{°}$

b) Gọi \({{\rm{K}}^\prime }\) là hình chiếu của điểm K lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó K (2; 2,5 ; 0).

Vi F là hình chiếu của điểm H lên mặt phẳng (Oxy) nên \({{\rm{K}}^\prime } \in {\rm{GF}}\).

Do đó đường thẳng GF có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {G{K^\prime }}  = (1;2;0)\).

Phương trình tham số của đường thẳng GF là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + {t^\prime }}\\{y = 0,5 + 2{t^\prime }{\rm{ ( }}{{\rm{t}}^\prime }{\rm{ là  tham }}}\\{z = 0}\end{array}} \right.\) số).

c) Trực thăng bay vào mây ở độ cao 2 km , tức là vị trí điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây có cao độ \(z = 2\), khi đó \(2t = 2\), suy ra \(t = 1\).

Vậy tọa độ điểm mà trực thăng bắt đầu đi vào đám mây là \((2;2,5;2)\).

d) Ta có \({\rm{H}}(1 + {\rm{t}};0,5 + 2{\rm{t}};2{\rm{t}})\). Khi đó, \(\overrightarrow {HM}  = (4 - t;4 - 2t;3 - 2t)\).

Đường thẳng GH có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {GK}  = (1;2;2)\).

HM vuông góc với đường bay GH khi \(\overrightarrow {HM}  \bot \overrightarrow {GK}  \Leftrightarrow \overrightarrow {HM}  \cdot \overrightarrow {GK}  = 0\)

\( \Leftrightarrow (4 - t) \cdot 1 + (4 - 2t) \cdot 2 + (3 - 2t) \cdot 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2.{\rm{ }}\)

Vậy \({\rm{t}} = 2\) thì HM vuông góc với đường bay GH .

Khi đó, khoảng cách từ đỉnh núi đến máy bay trực thăng là:

\(HM = \sqrt {{{(4 - 2)}^2} + {{(4 - 2 \cdot 2)}^2} + {{(3 - 2 \cdot 2)}^2}}  = \sqrt 5 (\;{\rm{km}})\)