(4,0 điểm)

1) a) Tính giá trị của biểu thức: \(C = \sin 30^\circ - \frac{{\tan 29^\circ }}{{\cot 61^\circ }} - 2{\cos ^2}60^\circ + \cot 45^\circ .\)

b) Một máy bay đang ở vị trí A có độ cao \[3,2{\rm{ km}}\] so với mặt đất. Máy bay bắt đầu quy trình hạ cánh từ vị trí A xuống vị trí B trên mặt đất. Quãng đường bay AB dài \[6,8\,\,{\rm{km}}.\] Tính góc nhọn tạo bởi đường bay AB và phương ngang của mặt đất. (làm tròn kết quả đến độ)

2) Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\,\,\left( {AB < AC} \right).\]

a) Biết \[AB = 6\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 53^\circ .\] Giải tam giác vuông \[ABC\] (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

b) Lấy điểm \[M\] bất kì trên cạnh \[BC\] \[(M\] khác \[B\] và \[C).\] Kẻ \[BK \bot AM\,\,\left( {K \in AM} \right)\] và kẻ \[CH \bot AM\]\[\left( {H \in AM} \right).\] Chứng minh  và \[BK = AH \cdot \cot ABC.\]

c) Chứng minh \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AH \cdot {{\tan }^2}\widehat {ACB}}}{{AK}}.\)

1) a) Ta có \(C = \sin 30^\circ - \frac{{\tan 29^\circ }}{{\cot 61^\circ }} - 2{\cos ^2}60^\circ + \cot 45^\circ \)

\( = \frac{1}{2} - \frac{{\tan 29^\circ }}{{\tan 29^\circ }} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1\)

\( = \frac{1}{2} - 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = 0.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\] có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{3,2}}{{6,8}} = \frac{8}{{17}}.\)

Suy ra \[\widehat B \approx 28^\circ .\]

2)

a) Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \).

Ta có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ .\)

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có

• \(AC = AB \cdot \tan B = 6\tan 53^\circ \approx 8\,\,({\rm{cm}}).\)

• \(AC = BC \cdot \sin B\) suy ra \[BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{8}{{\sin 53^\circ }} \approx 10\,\,({\rm{cm}}).\]

b) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CAH\] có

\[\widehat {ABK} = \widehat {CAH}\] (cùng phụ \(\widehat {BAH}\,).\)

\[\widehat {AKB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{BK}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]

Do đó \[BK = AH \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = AH \cdot \cot \widehat {ABC}\].

c) Ta có \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{BK}}{{CH}} = \frac{{AH \cdot \cot \widehat {ABC}}}{{CH}} = \frac{{AH \cdot \cot \widehat {ACB}}}{{CH}}.\)

Vì  nên \(\frac{{KA}}{{HC}} = \frac{{AB}}{{AC}},\) suy ra \[\frac{1}{{HC}} = \frac{{AB}}{{AC}}:KA = \frac{{\tan ACB}}{{KA}}\].

Do đó \[\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AH \cdot {{\tan }^2}\widehat {ACB}}}{{AK}}.\]