(0,5 điểm) Cửa hàng nhà bác Dũng chuyên kinh doanh máy tính tại Hà Nội. Một loại máy tính có giá nhập vào một chiếc là 18 triệu đồng và bán ra với giá 22 triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là 500 chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Dũng dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm 200 nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng 50 chiếc. Vậy bác Dũng phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất?

Gọi giá niêm yết của một chiếc ti vi khi là \[x\] (triệu đồng) .

Giá niêm yết của một chiếc máy giặt là \[y\] (triệu đồng) \[\left( {0 < x,\,\,y < 28,5} \right).\]

Giá niêm yết một tivi và một máy giặt có tổng số tiền là \[28,5\] triệu đồng nên ta có phương trình:

\[x + y = 28,5.\] (1)

Sau khi giảm \[20\% \], giá của một chiếc ti vi là \[\left( {100\% - 20\% } \right)x = 0,8x\] (triệu đồng).

Khi giảm 25% ,giá của một chiếc máy giặt là: \[\left( {100\% - 25\% } \right)y = 0,75y\] (triệu đồng)

Theo bài ra ta có phương trình: \[0,8x\; + 0,75y\; = 22.\]      (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 28,5\\0,8x\; + 0,75y\; = 22\end{array} \right.\].

Giải hệ phương trình trên, ta được \[\left\{ \begin{array}{l}x = 12,5\\y\; = 16\end{array} \right.\] (TMĐK).

Vậy giá niêm yết của một chiếc ti vi và máy giặt lần lượt là \[12,5\] triệu đồng và 16 triệu đồng.

1) a) Ta có \(C = \sin 30^\circ - \frac{{\tan 29^\circ }}{{\cot 61^\circ }} - 2{\cos ^2}60^\circ + \cot 45^\circ \)

\( = \frac{1}{2} - \frac{{\tan 29^\circ }}{{\tan 29^\circ }} - 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 1\)

\( = \frac{1}{2} - 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 1 = 0.\)

b) Xét \[\Delta ABH\] vuông tại \[H\] có: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{3,2}}{{6,8}} = \frac{8}{{17}}.\)

Suy ra \[\widehat B \approx 28^\circ .\]

2)

a) Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \); \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \).

Ta có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ .\)

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có

• \(AC = AB \cdot \tan B = 6\tan 53^\circ \approx 8\,\,({\rm{cm}}).\)

• \(AC = BC \cdot \sin B\) suy ra \[BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{8}{{\sin 53^\circ }} \approx 10\,\,({\rm{cm}}).\]

b) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CAH\] có

\[\widehat {ABK} = \widehat {CAH}\] (cùng phụ \(\widehat {BAH}\,).\)

\[\widehat {AKB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{BK}}{{AH}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]

Do đó \[BK = AH \cdot \frac{{AB}}{{AC}} = AH \cdot \cot \widehat {ABC}\].

c) Ta có \(\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{BK}}{{CH}} = \frac{{AH \cdot \cot \widehat {ABC}}}{{CH}} = \frac{{AH \cdot \cot \widehat {ACB}}}{{CH}}.\)

Vì  nên \(\frac{{KA}}{{HC}} = \frac{{AB}}{{AC}},\) suy ra \[\frac{1}{{HC}} = \frac{{AB}}{{AC}}:KA = \frac{{\tan ACB}}{{KA}}\].

Do đó \[\frac{{MB}}{{MC}} = \frac{{AH \cdot {{\tan }^2}\widehat {ACB}}}{{AK}}.\]