Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1, AD = 2, AA' = 3. Gọi M là một điểm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'.

a) \(\overrightarrow {AA'}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).

b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \frac{2}{3}\).

c) \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D}  = 0\).

Vì BC2 = SB2 + SC2 nên DSBC vuông cân tại S.

Mặt khác SA = AC = SC = 2 Þ DSAC là tam giác đều.

Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SC} .\left( {\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SA} } \right) = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} \)\( = 0 - \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\cos \widehat {ASC} =  - 2.2.\cos 60^\circ  = \frac{{ - {2^2}}}{2} =  - 2\).

Vậy \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  =  - 2\).

Trả lời: −2.

a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông.

b) Do S.ABCD là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng a Þ SB = SD = a.

c) Do tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên độ dài đường chéo \(BD = a\sqrt 2 \).

Tam giác SBD có SB = SD = a và \(BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác SBD vuông cân tại S, suy ra \(\widehat {SBD} = 45^\circ \).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SBD} = 135^\circ \).

d) Ta có \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {BD}  = \left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ  =  - {a^2}\).

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;  c) Sai;  d) Đúng.