Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 1, AD = 2, AA' = 3. Gọi M là một điểm trên đoạn CC' sao cho CM = 2MC'.

a) \(\overrightarrow {AA'}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).

b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \frac{2}{3}\).

c) \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D}  = 0\).

Vì BC2 = SB2 + SC2 nên DSBC vuông cân tại S.

Mặt khác SA = AC = SC = 2 Þ DSAC là tam giác đều.

Ta có \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {SC} .\left( {\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SA} } \right) = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SB}  - \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA} \)\( = 0 - \left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\cos \widehat {ASC} =  - 2.2.\cos 60^\circ  = \frac{{ - {2^2}}}{2} =  - 2\).

Vậy \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB}  =  - 2\).

Trả lời: −2.

a) Có \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GM} ;\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN} \).

Do đó \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\left( {\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} } \right) = \overrightarrow 0 \).

b) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} \)\( = 4\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \)\( = 4\overrightarrow {MG} \).

c) d) Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \);

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \).

Suy ra \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {DN} \)\( = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \)\( = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} \)\( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \).

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;  c) Sai;  d) Đúng.