Trong không gian, cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = 2, \(BC = 2\sqrt 2 \). Tính \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} \).

a) Do S.ABCD là hình chóp đều nên ABCD là hình vuông.

b) Do S.ABCD là hình chóp đều tất cả các cạnh bằng a Þ SB = SD = a.

c) Do tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài cạnh bằng a nên độ dài đường chéo \(BD = a\sqrt 2 \).

Tam giác SBD có SB = SD = a và \(BD = a\sqrt 2 \) nên tam giác SBD vuông cân tại S, suy ra \(\widehat {SBD} = 45^\circ \).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SBD} = 135^\circ \).

d) Ta có \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {BD}  = \left| {\overrightarrow {SB} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = a.a\sqrt 2 .\cos 135^\circ  =  - {a^2}\).

Đáp án: a) Đúng;  b) Đúng;  c) Sai;  d) Đúng.

a) Ta có \(\overrightarrow {AA'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {CM} \) và \(AA' = \frac{3}{2}CM\), suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).

b) Do \(\overrightarrow {AC} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'C'} \), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {CAM}\),

suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \cos \widehat {CAM} = \frac{{AC}}{{AM}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} \).

d) Ta có \(\overrightarrow {B'D}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AD}  - \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} } \right) =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} \).

Do đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} } \right).\left( { - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AA'} } \right)\)

\( =  - A{B^2} + A{D^2} - \frac{2}{3}A{A'^2} =  - 1 + 4 - 6 =  - 3\).