Cho tứ diện \(ABCD\), có bao nhiêu vectơ có điểm dầu là \(A\) và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?

Lời giải

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2x - 1}} =  - \infty \), suy ra đường thẳng \(x = \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Ta có \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2{x^2} - x}} = \frac{1}{2}\);

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{1}{2}x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 5x + 2}}{{4x - 2}} =  - \frac{5}{4}\).

Suy ra đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{5}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Vậy điểm \(I\left( {\frac{1}{2};\, - 1} \right)\), khi đó \(\frac{1}{2} + \left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2} =  - 0,5\).

Đáp án: \( - 0,5\).

Lời giải

Gọi \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} \). Lấy các điểm \({D_1},{A'_1},\,{B'_1},\,{D'_1}\) sao cho \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {O{{D'}_1}} \).

Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) nên hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) có ba cạnh \(O{A_1},\,O{B_1},\,O{C_1}\)  đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng \(15\sqrt 3 \).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \), ở đó \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \) (N).