Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm \(O\) trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm \(A,\,B,\,C\) trên đèn tròn sao cho các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt trên mối dây \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) (như hình vẽ). Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

Lời giải

Gọi \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{F_3}} \). Lấy các điểm \({D_1},{A'_1},\,{B'_1},\,{D'_1}\) sao cho \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{B_1}}  + \overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {O{{D'}_1}} \).

Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\) (N) nên hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) có ba cạnh \(O{A_1},\,O{B_1},\,O{C_1}\)  đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp \(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\) là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng \(15\sqrt 3 \).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P \), ở đó \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \) (N).