Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ dưới). Khẳng định nào dưới đây đúng?

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \).

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).

c) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \).

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Lại có M là trung điểm của SB nên \(MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {MAB}\).

Xét MAB có \(\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của SBD.

Do đó \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

a) Do M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} \\\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right)\).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \).

Do đó \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \).

c) Có \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {IB} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {NC} ;\overrightarrow {ID} = \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {ND} \).

Suy ra \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 2\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \).

d) Do \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 4\overrightarrow {AI} \).

Mặt khác vì G là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).

Suy ra \(4\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {AG} \). Do đó \(4\overrightarrow {AI} - 3\overrightarrow {AG} = 0\).

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.