Câu hỏi:

30/08/2025 12 Lưu

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

a) \(\overrightarrow {DC'} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} \).

b) \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'} = {a^2}\).

c) Gọi M = CD'  C'D. Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).

d) Góc giữa \(\overrightarrow {A'C} \) và \(\overrightarrow {BD} \) là 60°.

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DC'} \).

b) Ta có \(\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {AA'} = \left| {\overrightarrow {AD'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\cos 45^\circ = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

c) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).

d) Ta có \(\overrightarrow {A'C} = \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} \); \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right).\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right) - \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {A'A} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'B'} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'D'} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'A} \)

\( = 0 - {a^2} + {a^2} - 0 + 0 - 0 = 0\).

Do đó \(\left( {\overrightarrow {A'C} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ \).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết rằng cạnh AB = a, AD = 2a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD. Khi đó: (ảnh 1)

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

b) Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 5 \).

Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.

Suy ra \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {SCA} \approx 41^\circ 48'\).

c) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy nên tam giác SAB là tam giác vuông tại A.

Suy ra \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 5 \).

Trong tam giác SAB vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên \(AM = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Lại có M là trung điểm của SB nên \(MB = \frac{1}{2}SB = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \widehat {MAB}\).

Xét MAB có \(\cos \widehat {MAB} = \frac{{M{A^2} + A{B^2} - M{B^2}}}{{2MA.AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.a.\frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) Ta có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của SBD.

Do đó \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AN} } \right| = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Đáp án: a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Lời giải

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) là hai lực hợp với nhau một góc 60° và \(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = 4\sqrt 3 \).

Gọi \(\overrightarrow {{F_3}} \) là lực có phương vuông góc với mặt phẳng tọa bởi hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) và \(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 5\).

Độ lớn của lực tổng hợp là

\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right)}^2}} = \sqrt {{{\overrightarrow {{F_1}} }^2} + {{\overrightarrow {{F_2}} }^2} + {{\overrightarrow {{F_3}} }^2} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}} + 2\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_3}} + 2\overrightarrow {{F_3}} .\overrightarrow {{F_2}} } \)

\( = \sqrt {2.{{\left( {4\sqrt 3 } \right)}^2} + {5^2} + 2.4\sqrt 3 .4\sqrt 3 .\cos 60^\circ } = 13\).

Trả lời: 13.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP