Tính tổng các giá trị nguyên của \(x\) để \(B = \frac{{ - 4x}}{{2x - 1}}\) đạt giá trị nguyên.

a) Sai

Điều kiện xác định của \(K\) là: \(x - 1 \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;{\rm{ }}{x^2} - 1 \ne 0\) và \(x \ne 0\).

Do đó, \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\).

b) Đúng

Với \(x \ne 0,x \ne 1\) và \(x \ne  - 1\), ta có:

\(K = \left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{x - 1}}{{x + 1}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \left[ {\frac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1 + {x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right] \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}} \cdot \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{{x + 2003}}{x}\)

\(K = \frac{x}{x} + \frac{{2003}}{x}\)

\(K = 1 + \frac{{2023}}{x}.\)

c) Đúng.

Ta có: \(K = 1 + \frac{{2023}}{x}\) nên để \(K\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{{2023}}{x}\) đạt giá trị nguyên.

Suy ra \(2003 \vdots x\) hay \(x\) là Ư(2003).

Suy ra \(x \in \left\{ { - 2003;{\rm{ }} - 1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2003} \right\}\).

Vậy có bốn giá trị nguyên của \(x\) để \(K\) nhận giá trị nguyên.

d) Sai.

Tổng các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn để \(K\) nhận giá trị nguyên là: \( - 2003 + \left( { - 1} \right) + 1 + 2003 = 0\).

a) Sai.

Nhận thấy \({x^2} + 3 > 0\) với mọi \(x\) nên \(B\) xác định với mọi \(x.\)

b) Đúng.

Ta có: \(B = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{{x^2} + 3 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3}} = \frac{{{x^2} + 3}}{{{x^2} + 3}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} = 1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}}\).

c) Đúng.

Ta có: \(B + \frac{4}{3} = \frac{{4x - 1}}{{{x^2} + 3}} + \frac{4}{3} = \frac{{3\left( {4x - 1} \right) + 4\left( {{x^2} + 3} \right)}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{{4{x^2} + 12x + 9}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}}\)

Nhận thấy \(\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{3\left( {{x^2} + 3} \right)}} \ge 0\) với mọi \(x.\)

Suy ra \(B + \frac{4}{3} \ge 0\) với mọi \(x.\)

Do đó, \(B \ge  - \frac{4}{3}\) với mọi \(x.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(B\) bằng \( - \frac{4}{3}\).

d) Đúng.

Nhận thấy \( - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} \le 0\) với mọi \(x.\)

Do đó, \(1 - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 3}} \le 1\) với mọi \(x.\)

Suy ra \(B \le 1\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(B\) bằng \(1.\)