Cho các hàm số sau:

\(\left( I \right):y = - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1;\left( {II} \right):y = \sin x - 2x;\)\(\left( {III} \right):y = - \sqrt {{x^3} + 2} ;\left( {IV} \right):y = \frac{{x - 2}}{{1 - x}}\).

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 6}}{{ - x - 1}}\).

a) Hàm số \(f\left( x \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

c) Hàm số \(f\left( x \right)\) có giá trị cực đại bằng 2.

d) Hàm số \(f\left( {{x^2} - 2} \right)\) có 3 điểm cực trị.

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\).

a) Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

b) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và .

c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 4; - 3} \right)\).

Cho hàm số \(y = \sqrt {8 + 2x - {x^2}} \). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau.

a) Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ { - 2;4} \right]\).

b) Hàm số có \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {8 + 2x - {x^2}} }}\).

c) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;4} \right)\).

d) Giá trị cực đại của hàm số là 0.

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức \(N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}\) (con), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi thời gian bằng bao nhiêu để số lượng vi khuẩn đạt cực đại.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 2{x^2} + x - 3\) đạt cực tiểu tại \(x = a\), cực đại tại \(x = b\). Tính \(3a + 6b.\)