Cho hai tập hợp \(X,Y\) thỏa mãn \(X\backslash Y = \left\{ {7;15} \right\}\) và \(X \cap Y = \left( { - 1;2} \right)\). Xác định số phần tử là số nguyên của tập hợp \(X\).

Ta có \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 = \left( {{n^2} + n + 4} \right)\left( {2n - 1} \right) + 5\).

\(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1\) chia hết cho \(2n - 1\) \( \Leftrightarrow \)\(5\) chia hết cho \(2n - 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2n - 1 = 1\\2n - 1 =  - 1\\2n - 1 = 5\\2n - 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 1\\n = 0\\n = 3\\n =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy có 4 giá trị nguyên của \(n\).

Đáp án: \(4\).

Gọi \[x\] là số mét vải loại A, \[y\] là số mét vải loại B mà người thợ sản suất.

Theo đề ta suy ra hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 6\\x + 2y \le 8\end{array} \right.\) (1).

Số tiền lợi nhuận là: \[L\left( {x;y} \right) = 0,8x + y\] (triệu đồng).

+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\] là miền tứ giác \[OABC\] (kể cả biên) với \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;4} \right),B\left( {4;2} \right),C\left( {6;0} \right).\]

+ Xét \[L\left( {x;y} \right)\] tại các đỉnh của tứ giác \[OABC\], ta có:

\[L\left( {0;0} \right) = 0\] (triệu đồng)

\[L\left( {0;4} \right) = 4\] (triệu đồng)

\[L\left( {4;2} \right) = 5,2\] (triệu đồng)

\[L\left( {6;0} \right) = 4,8\] (triệu đồng).

+ Ta thấy \[L\] đạt giá trị lớn nhất là \[5,2\] (triệu đồng) tại \[x = 4\] và \[y = 2.\]

Vậy người thợ cần sản xuất 4 mét loại A và 2 mét loại B thì thu lại lợi cao nhất.