Hướng tới kỉ niệm 70 năm thành lập trường THPT TCV, nhà trường dự định bố trí một phần diện tích trong khuôn viên nhà trường để trưng bày các sản phẩm lưu giữ những kỉ niệm của Đoàn Thanh Niên qua các thời kỳ, phần diện tích đó có hình dạng là một tứ giác ABCD (hình vẽ).

Biết $AB=10\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}m},BC=12\text{\hspace{0.17em}m},CD=13\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}m},\widehat{ABC}=120°,\widehat{BCD}=100°.$

a) Tính độ dài đường chéo AC.

b) Phần diện tích tam giác ACD sẽ được trải thảm. Tính số tiền cần chi trả cho việc trải thảm biết chi phí trải thảm cho 1 m² là 300 000 đồng.

\(\tan \alpha  - \cot \alpha  = 3 \Leftrightarrow {\left( {\tan \alpha  - \cot \alpha } \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  - 2\tan \alpha  \cdot \cot \alpha  = 9\)

\( \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  - 2 = 9 \Leftrightarrow {\tan ^2}\alpha  + {\cot ^2}\alpha  = 11\). Chọn B.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số xe máy Lead và số xe máy Vision nhập về để lợi nhuận thu được là lớn nhất \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\).

Số vốn ban đầu không vượt quá \(36\) tỉ đồng nên ta có: \(40x + 30y \le 36000\).

Nhu cầu thị trường không vượt quá \(1100\) xe nên: \(x + y \le 1100\).

Nhu cầu xe Lead không vượt quá \(1,5\) lần nhu cầu Vision nên: \(x \le \frac{3}{2}y\).

Ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\40x + 30y \le 36000\\x + y \le 1100\end{array}\\{x \le \frac{3}{2}y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\left( I \right)\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left( I \right)\) trên mặt phẳng \(Oxy\) ta được miền tứ giác \(OEFK\), với \(O\left( {0;0} \right),\,E\left( {600;400} \right),\,F\left( {300;800} \right),\,K\left( {0;1100} \right)\).

Lợi nhuận: \(F\left( {x;y} \right) = 5x + 3,2y\) (triệu đồng).

\(F\left( {0;0} \right) = 0\)

\(F\left( {600;400} \right) = 4280\)

\(F\left( {300;800} \right) = 4060\)

\(F\left( {0;1100} \right) = 3520\).

Vậy cửa hàng nhập \(600\) xe Lead và \(400\)xe Vision thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là: \(5 \times 600 + 3,2 \times 400 = 4280\) triệu đồng.