Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MH\) và \(\widehat P = \alpha \). Tỉ số \(\frac{{PH}}{{MP}}\) bằng

Gọi \(\left( {x;\,\,y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right..\] Bạn An sau khi giải hệ phương trình thì viết được hệ thức \(y = ax.\) Tìm \(a.\)

(1,5 điểm)

1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \le b.\)

a) \(a + c \le b + c.\)                                                    b) \(ac \ge bc\) với \(c > 0.\)

c) \( - \frac{a}{c} \ge - \frac{b}{c}\) với \(c < 0.\)        d) \({a^2} \le {b^2}.\)

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)

Phương trình \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\) có nghiệm là bao nhiêu?

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}\).

Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] có \[BC = 1,2\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{, }}AC = 0,9\,\,{\rm{cm}}.\] Tính \[\sin B + \cos B.\]