Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình \(x\left( {5x + 1} \right) + 4\left( {x + 3} \right) \ge 5{x^2}\) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nhận thấy đường thẳng \[d\] đi qua các điểm có tọa độ \[\left( {0\,;\,\,0} \right)\] và \[\left( {1\,;\,\,2} \right).\]

Do đó, đường thẳng \[d\] biểu diễn nghiệm của phương trình \[y = 2x.\]

Hướng dẫn giải

Gọi \(x\) là số trận thắng – thua và \(y\) là số trận hòa \[\left( {x,{\rm{ }}y \in \mathbb{N}*} \right)\].

Nếu có 5 đội tham gia thi đấu, mỗi đội phải đấu với 4 đội còn lại nên với 5 đội tham gia thì có \(5 \cdot 4 = 20\) (trận đấu). Nhưng mỗi trận đấy có 2 đội tham gia nên tổng số trận đấu khi có 5 đội tham gia là \(\frac{{5 \cdot 4}}{2} = 10\) (trận đấu).

Vì có 10 trận đấu nên \(x + y = 10\) \[\left( 1 \right)\]

Mặt khác, tổng số điểm các đội là \(10 + 9 + 6 + 4 + 0 = 29\) (điểm).

Mỗi trận thắng – thua có tổng số điểm là 3 và mỗi trận hòa có tổng số có tổng số điểm là 2 nên ta có phương trình \(3x + 2y = 29\) \[\left( 2 \right)\]

Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 10\\3x + 2y = 29\end{array} \right.\).

Từ phương trình thứ hai ta có \(x + y = 10\) suy ra \(x = 10 - y\). Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

\(3\left( {10 - y} \right) + 2y = 29\), suy ra \(30 - 3y + 2y = 29\) hay \(y = 1\) (thỏa mãn).

Từ đó \(x = 10 - y = 10 - 1 = 9\) (thỏa mãn).

Mỗi đội có 4 trận đấu với các đội còn lại mà đội A có 10 điểm tức đội A thắng 3 trận hòa 1 trận.

Đội B có 9 điểm tức thắng 3 trận thua 1 trận.

Đội C có 6 điểm tức thắng 2 trận thua 2 trận.

Đội D có 4 điểm thắng 1 trận hòa 1 trận.

Đội E không có điểm tức là thua hết 4 trận.

Vậy trận hòa là của đội A và đội D.