Cho hình thang \(ABCD\;\left( {AB\,{\rm{//}}\,CD} \right)\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {ABD}.\) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

          a) \(OA = OB.\)

          b) Tam giác \(OCD\) cân tại \(C.\)

          c) \(AC > BD.\)

            d) \(AD = BC.\)

Đáp án: \(90\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thang cân nên \(AD = BC,\;AC = BD,\;\widehat {ADC} = \widehat {BCD}.\)

Tam giác \(ABD\) và tam giác \(BAC\) có: \(AD = BC,\;AC = BD,\;AB\) chung.

Do đó, \(\Delta ABD = \Delta BAC\;\left( {c - c - c} \right).\) Suy ra, \(\widehat {ABP} = \widehat {BAP}\) nên tam giác \(APB\) cân tại \(P.\)

Suy ra: \(AP = PB.\) Do đó, điểm \(P\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 1 \right).\)

Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {QAB},\;\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các góc đồng vị).

Lại có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\;\left( {cmt} \right)\) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}.\) Do đó, tam giác \(QAB\) cân tại \(Q.\)

Suy ra \(QA = QB.\) Do đó, điểm \(Q\) thuộc đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(PQ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)

Suy ra: \(PQ \bot AB\) tại \(I.\) Vậy \(\widehat {QIB} = 90^\circ .\)

a) Đúng.

Vì \(BE,\;CD\) là các đường cao của tam giác \(ABC\) nên \(BE \bot AC,\;CD \bot AB.\)

Do đó, \(\widehat {BEC} = \widehat {BEA} = \widehat {ADC} = \widehat {BDC} = 90^\circ .\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Tam giác \(ACD\) và tam giác \(ABE\) có: \(\widehat {ADC} = \widehat {BEA} = 90^\circ ,\;AB = AC,\;\widehat A\) chung.

Do đó, \(\Delta ACD = \Delta ABE\;\left( {ch - gn} \right).\) Suy ra, \(AD = AE\) nên tam giác \(ADE\) cân tại \(A.\)

b) Sai.

\(\Delta ABC\) có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat A = 180^\circ \) nên \(\widehat {ABC} + \widehat {ABC} + \widehat A = 180^\circ .\)Do đó, \(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\;\left( 1 \right).\)

Vì tam giác \(ADE\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {ADE} = \widehat {AED}.\)

Mà \(\widehat {ADE} + \widehat {AED} + \widehat A = 180^\circ \) suy ra \(\widehat {ADE} + \widehat {ADE} + \widehat A = 180^\circ \) nên \(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\;\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\;\left( 2 \right)\) ta có: \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}.\)

c) Đúng.

Vì \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC,}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\;{\rm{//}}\;BC.\)

d) Đúng.

Tứ giác \(BDEC\) có: \(DE\;{\rm{//}}\;BC\) nên tứ giác \(BDEC\) là hình thang.

Mà \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\) nên tứ giác \(BDEC\) là hình thang cân.