Cho \(\Delta ABC\) có đường cao \(AH.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC,\) lấy điểm \(N\) sao cho \(M\) là trung điểm của \(HN.\) Biết rằng diện tích \(\Delta AHC\) bằng \(20\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

         a) \(HM = \frac{1}{3}AC.\)

         b) Tứ giác \(AHCN\) là hình chữ nhật.

         c) \(\widehat {ANC} = 90^\circ .\)

         d) Diện tích \(\Delta ANC\) bằng \(30\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD.\)

b) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAO} + \widehat {OAB} = 90^\circ .\)

Theo đề bài: \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB}\) nên \(\widehat {OAB} + 2\widehat {OAB} = 90^\circ .\) Suy ra \(3\widehat {OAB} = 90^\circ ,\) nên \(\widehat {OAB} = 30^\circ .\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OC = OD.\) Do đó, tam giác \(COD\) cân tại \(O.\)

Do đó, \(OH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta COD.\) Suy ra \(HC = \frac{1}{2}DC.\)

d) Đúng.

Vì \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) nên \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 30^\circ  = 60^\circ .\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OD.\) Do đó, tam giác \(AOD\) cân tại \(O.\)

Mà \(\widehat {OAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều.

a) Đúng.

Vì \(G\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BM,\;CN\) của \(\Delta ABC\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

b) Sai.

Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC,\;\widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AM = MC = \frac{1}{2}AC.\)

Vì \(N\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AN = NB = \frac{1}{2}AB.\)

Do đó, \(AN = NB = AM = MC.\)

Tam giác \(BMC\) và tam giác \(CNB\) có: \(\widehat {MCB} = \widehat {NBC}\;\left( {cmt} \right),\;MC = BN\;\left( {cmt} \right),\;BC\;{\rm{chung}}{\rm{.}}\)

Do đó, \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {c - g - c} \right).\)

c) Đúng.

Vì \(\Delta BMC = \Delta CNB\;\left( {cmt} \right)\) nên \(BM = CN.\)

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(GC = \frac{2}{3}CN,\;BG = \frac{2}{3}BM.\) Suy ra: \(GB = GC.\)

Mà \(GD = GB,\;GE = GC\) nên \(GD = GB = GE = GC.\) Suy ra: \(EG + GC = BG + GD\) hay \(BD = CE.\)

d) Đúng.

Tứ giác \(BEDC\) có hai đường chéo \(CE,\;BD\) cắt nhau tại \(G;\;\) \(G\) vừa là trung điểm của \(BD\) vừa là trung điểm của \(EC.\) Do đó, tứ giác \(BEDC\) là hình bình hành. Mà \(BD = CE\) nên tứ giác \(BEDC\) là hình chữ nhật. Do đó, \(\widehat {EBC} = 90^\circ .\)