Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(M,\;N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\;AB.\) Gọi \(G\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN.\) Trên tia đối của \(GB,\;GC\) lần lượt lấy các điểm \(D,\;E\) sao cho \(GD = GB,\;GE = GC.\)

         a) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

         b) \(\Delta BMC = \Delta BCN.\)

         c) \(BD = CE.\)

         d) \(\widehat {EBC} = 90^\circ .\)

a) Đúng.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD.\)

b) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {DAB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DAO} + \widehat {OAB} = 90^\circ .\)

Theo đề bài: \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB}\) nên \(\widehat {OAB} + 2\widehat {OAB} = 90^\circ .\) Suy ra \(3\widehat {OAB} = 90^\circ ,\) nên \(\widehat {OAB} = 30^\circ .\)

c) Sai.

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OC = OD.\) Do đó, tam giác \(COD\) cân tại \(O.\)

Do đó, \(OH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta COD.\) Suy ra \(HC = \frac{1}{2}DC.\)

d) Đúng.

Vì \(\widehat {OAB} = 30^\circ \) nên \(\widehat {DAO} = 2\widehat {OAB} = 2 \cdot 30^\circ  = 60^\circ .\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OD.\) Do đó, tam giác \(AOD\) cân tại \(O.\)

Mà \(\widehat {OAD} = 60^\circ \) nên tam giác \(AOD\) là tam giác đều.

a) Đúng.

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD.\)

Do đó, tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) và tam giác \(COB\) cân tại \(O.\)

Tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(OM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, \(\widehat {OMB} = 90^\circ .\)

Tam giác \(COB\) cân tại \(O\) nên \(ON\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Do đó, \(\widehat {ONB} = 90^\circ .\)

b) Đúng.

Tứ giác \(OMBN\) có: \(\widehat {MBN} = \widehat {OMB} = \widehat {ONB} = 90^\circ .\) Do đó, tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật.

c) Sai.

Vì tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(MN = OB.\) Mà \(OB = \frac{1}{2}AC\) nên \(MN = \frac{1}{2}AC.\)

d) Đúng.

Gọi \(K\) là giao điểm của \(OB\) và \(MN.\) Vì tứ giác \(OMBN\) là hình chữ nhật nên \(KM = KB.\)

Do đó, tam giác \(KMB\) cân tại \(K.\) Do đó, \(\widehat {KMB} = \widehat {KBM}.\)

Vì tam giác \(AOB\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}.\) Do đó, \(\widehat {OAB} = \widehat {KMB}.\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN\,{\rm{//}}\,AC.\)