Một hình thoi có độ dài hai đường chéo là 12 cm và 16 cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi đó. (Đơn vị: cm).

Đáp án: \(30\)

Vì tam giác \(ABD\) cân tại \(A\) nên \(AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó.

Suy ra: \(AM \bot BD\) tại \(M\) hay \(AC \bot BD\) tại \(M.\)

Vì \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(M\) nên \(M\) là trung điểm của \(AC.\)

Tứ giác \(ABCD\) có: \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC,\;BD.\) \(M\) vừa là trung điểm của \(BD,\) vừa là trung điểm của \(AC\) nên tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành.

Lại có: \(AC \bot BD\) tại \(M\) nên hình bình hành \(ABCD\) là hình thoi. Do đó, \(AB = BC = CD = DA.\)

Vì rằng chu vi tam giác \(BCD\) bằng \(30\;{\rm{cm}}\) nên \(BC + BD + CD = 30,\) suy ra \(AB + BD + AD = 30.\)

Vậy chu vi tam giác \(BAD\) bằng \(30\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình thoi \(ABCD\) bằng \(40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên \(\frac{1}{2}AC \cdot BD = 40\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) hay \(AC \cdot BD = 80\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình thoi nên: \(OA = \frac{1}{2}AC,\;OB = \frac{1}{2}BD\) và \(AC \bot BD\) tại \(O.\)

Tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\) nên diện tích tam giác \(AOB\) là:

\({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2}AC} \right)\left( {\frac{1}{2}BD} \right) = \frac{1}{8} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{8} \cdot 80 = 10\;\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích tam giác \(AOB\) bằng \(10\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)