Từ vị trí $A$ người ta quan sát một cây cao.

Biết $AH = 4{\rm{m}}$, $HB = 20{\rm{m}}$, $\widehat {BAC} = 45^\circ $. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến hàng phần mười).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tính chiều cao của cây (làm tròn đến hàng phần mười). (ảnh 2)

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên ta có $AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}} = 4\sqrt {26} $.

Kẻ $AM//\;HB,$ $M \in BC$. Khi đó $AM = 20{\rm{m}}$, $BM = 4{\rm{m}}$ và tam giác $ABM$ vuông tại $M$.

Suy ra $\sin \widehat {ABM} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{5}{{\sqrt {26} }}$.

Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$, ta có $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$.

Đặt $MC = x$, khi đó ta được

$\frac{{4 + x}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{\sqrt {{{20}^2} + {x^2}} }}{{\frac{{AM}}{{AB}}}} \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {4 + x} \right) = \frac{{\sqrt {26\left( {400 + {x^2}} \right)} }}{5}$

$ \Leftrightarrow 24{x^2} + 400x - 9600 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30\\x = \frac{{40}}{3}\end{array} \right.\;$. Suy ra $MC = x = \frac{{40}}{3}.$

Vậy chiều cao của cây bằng $BC = x + 4 = \frac{{52}}{3} \Rightarrow BC \approx 17,3{\rm{m}}{\rm{.}}$

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$.

Xem đáp án

Lời giải

Vẽ các đường thẳng ${d_1}: - x + 2y = 6;{d_2}:x + y = 4$; $Oy:x = 0$; $Ox:y = 0$.

Điểm M(1; 1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ ${d_1};{d_2};Ox;Oy$ không chứa điểm M.

Miền không bị tô đậm là hình tứ giác OABC kể cả bốn cạnh OA, AB, BC, CO trong hình vẽ dưới là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

$Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x + 2y \le 6\\x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$. (ảnh 1)$

Câu 2

Cho tam giác ABC có $\widehat A = 120^\circ ,b = 8,c = 5$. Tính:

a) Cạnh a và các góc $\widehat B,\widehat C$.

b) Diện tích tam giác ABC.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$

\[ \Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5\cos 120^\circ = 129 \Rightarrow a = \sqrt {129} \].

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}$$ \Rightarrow \frac{{\sqrt {129} }}{{\sin 120^\circ }} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sin B = \frac{8. \sin 120 °}{\sqrt{129}} \\ \sin C = \frac{5. \sin 120 °}{\sqrt{129}} \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \hat{B} \approx 37, 59 ° \\ \hat{C} \approx 22, 41 ° \end{cases}$

b) Diện tích tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}.8.5\sin 120^\circ = 10\sqrt 3 $.

c) Theo định lí sin ta có $R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin 120^\circ }} = \sqrt {43} $.

Đường cao AH của tam giác bằng $\frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{{\sqrt {129} }} = \frac{{20\sqrt {43} }}{{43}}$.

Câu 3