Cho hình thoi ABCD tâm O, \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Gọi M là trung điểm AD và G là trọng tâm của tam giác ABC. Biết \(\overrightarrow {GM} = \frac{m}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{n}{6}\overrightarrow {BC} \). Tính tổng \(m + n\).

Gọi N là trung điểm của BC.

Ta có \(\overrightarrow {GM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GD} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {GA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {GD} \)\( = - \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {AN} + \frac{1}{2}.\frac{2}{3}\overrightarrow {BD} \)\( = - \frac{1}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

\( = - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)\( = \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BA} - \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{6}\overrightarrow {BC} \).

Suy ra \(m = 2;n = 1\). Do đó \(m + n = 3\).

Trả lời: 3.