Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

 

Hàm số \(y = f\left( x \right) + 2024\) đồng biến trên khoảng nào?

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\].

+Khi \(m = - 1\) ta có \[y = 2{x^3} + 6x + 2 \Rightarrow \]\[y' = 6{x^2} + 6 > 0\] nên hàm số luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \)a đúng

+Khi \(m = 1\) ta có \[y = 2{x^3} + 4{x^2} + 6x + 6 \Rightarrow \]\[y' = 6{x^2} + 8x + 6\]

Có \(\Delta ' = 16 - 36 = - 20 < 0\)\[ \Rightarrow y' = 6{x^2} + 8x + 6{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\] Hàm số không có cực trị khi \(m = 1\)\( \Rightarrow \)b đúng

Ta có: \[y' = 6{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 6\].

+ Hàm số \[y = 2{x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} + 6x + 4 + 2m\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\] khi và chỉ khi

\[y' = 6{x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 6 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\]

\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 36 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 2.\]

Vậy \(m \in \left[ { - 4;2} \right]\)

Với \(m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\} \Rightarrow c\) sai

+ có \[y'' = 12x + 4\left( {m + 1} \right)\].   Để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y'(2) = 0}\\{y''(2) > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{38 + 8m = 0}\\{28 + 4m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - \frac{{38}}{8}}\\{m > - 7}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{{38}}{8}\)\( \Rightarrow \)d sai

Gọi \(y = f\left( x \right) =  - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1\).

Nhận xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - \infty \).

Do đó hàm số \(y = \left| { - {x^4} + m{x^3} + 2{m^2}{x^2} + m - 1} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1;\, + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( x \right) \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\f\left( 1 \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 3m{x^2} + 4{m^2}x \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\ - 1 + m + 2{m^2} + m - 1 \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^3} + 3m{x^2} + 4{m^2}x \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\\\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{x^2} + 3mx + 4{m^2} \le 0{\rm{   }}\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\\\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\) thay vào \(\left( 1 \right)\)đều thỏa mãn vậy có 2 giá trị của \(m\)thỏa mãn.